|
|
|
Определение и свойства тройных интегралов
|
|
Определение тройного интеграла
Формально определение тройного интеграла можно ввести аналогично двойному интегралу как предел суммы Римана. Начнем с простейшего случая,
когда область интегрирования \(U\) имеет вид параллелепипеда \(\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right] \times \left[ {p,q} \right]\)
(рисунок \(1\)).
Пусть множество чисел \(\left\{ {{x_0},{x_1}, \ldots ,{x_m}} \right\}\) разбивает отрезок \(\left[ {a,b} \right]\)
на малые интервалы, так что справедливо соотношение
\[a = {x_0} < {x_1} < {x_2} < \ldots < {x_i} < \ldots < {x_{m - 1}} < {x_m} = b.\]
Аналогично построим разбиение отрезка \(\left[ {c,d} \right]\) вдоль оси \(Oy\) и \(\left[ {p,q} \right]\)
вдоль оси \(Oz:\)
\[c = {y_0} < {y_1} < {y_2} < \ldots < {y_j} < \ldots < {y_{n - 1}} < {y_n} = d,\]
\[p = {z_0} < {z_1} < {z_2} < \ldots < {z_k} < \ldots < {z_{\ell - 1}} < {z_\ell} = q.\]
Сумма Римана функции \(f\left( {x,y,z} \right)\) над разбиением
\(\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right] \times \left[ {p,q} \right]\) имеет вид
\[\sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^{\ell} {f\left( {{u_i},{v_j},{w_k}} \right)\Delta {x_i}\Delta {y_j}\Delta {z_k}} } } .\]
Здесь \({\left( {{u_i},{v_j},{w_k}} \right)}\) − некоторая точка в параллелепипеде
\(\left( {{x_{i - 1}},{x_i}} \right) \times \left( {{y_{j - 1}},{y_j}} \right) \times \left( {{z_{k - 1}},{z_k}} \right),\)
а приращения равны
\[
{\Delta {x_i} = {x_i} - {x_{i - 1}},}\;\;
{\Delta {y_j} = {y_j} - {y_{j - 1}},}\;\;
{\Delta {z_k} = {z_k} - {z_{k - 1}}.}
\]
Тройной интеграл от функции \(f\left( {x,y,z} \right)\) в
параллелепипеде \(\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right] \times \left[ {p,q} \right]\)
определяется как предел суммы Римана, при котором максимальное значение приращений
\(\Delta {x_i},\) \(\Delta {y_j}\) и \(\Delta {z_k}\) стремятся к нулю:
\[\require{AMSmath.js}
{\iiint\limits_{\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right] \times \left[ {p,q} \right]} {f\left( {x,y,z} \right)dV} }
= {\lim\limits_{\substack{
\text{max}\,\Delta {x_i} \to 0\\
\text{max}\,\Delta {y_j} \to 0\\
\text{max}\,\Delta {z_k} \to 0}} \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^\ell {f\left( {{u_i},{v_j},{w_k}} \right)\Delta {x_i}\Delta {y_j}\Delta {z_k}} } }.}
\]
Чтобы определить тройной интеграл в произвольной области \(U,\) выберем параллелепипед
\(\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right] \times \left[ {p,q} \right],\)
включающий заданную область \(U.\) Введем функцию \(g\left( {x,y,z} \right),\) такую, что
\[
\begin{cases}
g\left( {x,y,z} \right) = f\left( {x,y,z} \right), & \text{если}\;\;f\left( {x,y,z} \right) \in U \\
g\left( {x,y,z} \right) = 0, & \text{если}\;\;f\left( {x,y,z} \right) \notin U
\end{cases}.
\]
Тогда тройной интеграл от функции функции \(f\left( {x,y,z} \right)\) в произвольной области \(U\) определяется
в виде:
\[
{\iiint\limits_U {f\left( {x,y,z} \right)dV} }
= {\iiint\limits_{\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right] \times \left[ {p,q} \right]} {g\left( {x,y,z} \right)dV} .}
\]
Основные свойства тройного интеграла
Пусть функции \(f\left( {x,y,z} \right)\) и \(g\left( {x,y,z} \right)\) интегрируемы в области \(U.\)
Тогда справедливы следующие свойства:
\(
{\iiint\limits_U {\left[ {f\left( {x,y,z} \right) + g\left( {x,y,z} \right)} \right]dV} }
= {\iiint\limits_U {f\left( {x,y,z} \right)dV} + \iiint\limits_U {g\left( {x,y,z} \right)dV} ;}
\)
\(
{\iiint\limits_U {\left[ {f\left( {x,y,z} \right) - g\left( {x,y,z} \right)} \right]dV} }
= {\iiint\limits_U {f\left( {x,y,z} \right)dV} - \iiint\limits_U {g\left( {x,y,z} \right)dV} ;}
\)
\(\iiint\limits_U {kf\left( {x,y,z} \right)dV} = k\iiint\limits_U {f\left( {x,y,z} \right)dV},\) где \(k\) - константа;
Если \({f\left( {x,y,z} \right)} \le {g\left( {x,y,z} \right)}\) в любой точке области \(U,\) то \(\iiint\limits_U {f\left( {x,y,z} \right)dV} \le \iiint\limits_U {g\left( {x,y,z} \right)dV} ;\)
Если область \(U\) является объединением двух непересекающихся областей \({U_1}\) и \({U_2},\) то
\(
{\iiint\limits_U {f\left( {x,y,z} \right)dV} }
= {\iiint\limits_{{U_1}} {f\left( {x,y,z} \right)dV} }
+ {\iiint\limits_{{U_2}} {f\left( {x,y,z} \right)dV} ;}
\)
Пусть \(m\) - наименьшее и \(M\) - наибольшее значение непрерывной функции \(f\left( {x,y,z} \right)\)
в области \(U.\) Тогда для тройного интеграла справедлива оценка:
\(m \cdot V \le \iiint\limits_U {f\left( {x,y,z} \right)dV} \le M \cdot V,\)
где \(V\) - объем области интегрирования \(U.\)
Теорема о среднем значении тройного интеграла.
Если функция \(f\left( {x,y,z} \right)\) непрерывна в области \(U,\) то существует точка \({M_0} \in U,\) такая, что
\(\iiint\limits_U {f\left( {x,y,z} \right)dV} = f\left( {{M_0}} \right) \cdot V,\)
где \(V\) - объем области \(U.\)
|
Пример 1
|
|
Оценить максимальное значение тройного интеграла
\[I = \iiint\limits_U {\frac{{dxdydz}}{{\sqrt {100 - {x^2} - {y^2} - {z^2}} }}} ,\]
где \(U\) представляет собой шар с центром в начале координат и радиусом \(R = 6.\)
Решение.
Уравнение шара имеет вид
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} \le 36.\]
Используя свойство \(6,\) можно записать
\[I \le M \cdot V,\]
где объем шара \(V\) равен
\[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot {6^3} = 288\pi .\]
Максимальное значение \(M\) подынтегральной функции равно
\[M = \frac{1}{{\sqrt {100 - 36} }} = \frac{1}{8}.\]
Отсюда получаем верхнюю оценку тройного интеграла:
\[I \le \frac{1}{8} \cdot 288\pi = 36\pi .\]
|
Пример 2
|
|
Оценить максимальное и минимальное значение тройного интеграла
\[\iiint\limits_U {\frac{{dV}}{{\ln \left( {e + x + y + z} \right)}}} ,\]
где область \(U\) является параллелепипедом:
\[U = \left\{ {\left( {x,y,z} \right)|\;0 \le x \le 1,\;0 \le y \le 2,\;0 \le z \le 3} \right\}.\]
Решение.
Сначала вычислим объем области интегрирования \(U:\)
\[V = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6.\]
Оценка интеграла выглядит как
\[m \cdot V \le I \le M \cdot V.\]
Здесь минимальное значение \(m\) подынтегральной функции равно
\[
{m = \frac{1}{{\ln \left( {e + 1 + 2 + 3} \right)}} }
= {\frac{1}{{\ln \left( {e + 6} \right)}}.}
\]
Соответственно, максимальное значение \(M\) составляет
\[M = \frac{1}{{\ln e}} = 1.\]
Таким образом, оценка интеграла имеет вид
\[\frac{6}{{\ln \left( {e + 6} \right)}} \le I \le 6.\]
|
|
|
|