|
Однородные дифференциальные уравнения высшего порядка с переменными коэффициентами
|
|
Линейное однородное уравнение \(n\)-го порядка имеет вид
\[{y^{\left( n \right)}} + {a_1}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots + {a_{n - 1}}\left( x \right)y' + {a_n}\left( x \right)y = 0,\]
где коэффициенты \({a_1}\left( x \right),{a_2}\left( x \right), \ldots ,{a_n}\left( x \right)\)
являются непрерывными функциями на некотором отрезке \(\left[ {a,b} \right].\)
Левую часть уравнения можно записать сокращенно, используя линейный дифференциальный оператор \(L:\) \[Ly\left( x \right) = 0,\] где \(L\) обозначает совокупность операций дифференцирования, умножения на коэффициенты \({a_i}\left( x \right)\) и сложения. Оператор \(L\) является линейным, и, поэтому, обладает следующими свойствами:
Из свойств оператора \(L\) следует, что если функции \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}\) являются решениями однородного дифференциального уравнения \(n\)-го порядка, то функция вида \[y\left( x \right) = {C_1}{y_1} + {C_2}{y_2} + \cdots + {C_n}{y_n},\] где \({C_1},{C_2}, \ldots ,{C_n}\) − произвольные постоянные, также будет удовлетворять данному уравнению. Последнее выражение представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения, если указанные функции \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}\) образуют фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений
Совокупность \(n\) линейно независимых частных решений \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}\)
называется фундаментальной системой линейного однородного дифференциального уравнения \(n\)-го порядка.
Функции \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}\) являются линейно независимыми на отрезке \(\left[ {a,b} \right],\) если тождество \[{\alpha _1}{y_1} + {\alpha _2}{y_2} + \cdots + {\alpha _n}{y_n} \equiv 0\] выполняется лишь при условии \[{\alpha _1} = {\alpha _2} = \cdots = {\alpha _n} = 0,\] где числа \({\alpha _1},{\alpha _2}, \ldots ,{\alpha _n}\) одновременно не равны \(0.\) Для проверки функций на линейную независимость удобно использовать определитель Вронского или вронскиан: \[ {W\left( x \right) = {W_{{y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}}}\left( x \right) } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}&{{y_2}}& \cdots &{{y_n}}\\ {{y'_1}}&{{y'_2}}& \cdots &{{y'_n}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {y_1^{\left( {n - 1} \right)}}&{y_2^{\left( {n - 1} \right)}}& \cdots &{y_n^{\left( {n - 1} \right)}} \end{array}} \right|.} \] Если функции \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n},\) дифференцируемые \(n - 1\) раз, являются линейно зависимыми на отрезке \(\left[ {a,b} \right],\) то выполняется тождество: \[W\left( x \right) \equiv 0.\] Соответственно, если эти функции линейно независимые на \(\left[ {a,b} \right],\) то справедлива формула \[W\left( x \right) \ne 0.\] Фундаментальная система решений однозначно определяет линейное однородное дифференциальное уравнение. В частности, уравнение 3-го порядка записывается по известной фундаментальной системе \({y_1},{y_2},{y_3}\) через определитель в следующем виде: \[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}&{{y_2}}&{{y_3}}&y\\ {{y'_1}}&{{y'_2}}&{{y'_3}}&y'\\ {{y''_1}}&{{y''_2}}&{{y''_3}}&y''\\ {{y'''_1}}&{{y'''_2}}&{{y'''_3}}&y''' \end{array}} \right| = 0.} \] Выражение для дифференциального уравнения \(n\)-го порядка записывается аналогично: \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}&{{y_2}}& \cdots &{{y_n}}&y\\ {{y'_1}}&{{y'_2}}& \cdots &{{y'_n}}&y'\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {y_1^{\left( n \right)}}&{y_2^{\left( n \right)}}& \cdots &{y_n^{\left( n \right)}}&{{y^{\left( n \right)}}} \end{array}} \right| = 0.\]
Формула Лиувилля-Остроградского
Пусть функции \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}\) образуют фундаментальную систему решений дифференциального
уравнения \(n\)-го порядка. Предположим, что точка \({x_0}\) принадлежит отрезку \(\left[ {a,b} \right].\)
Тогда для определителя Вронского справедлива формула Лиувилля-Остроградского:
\[W\left( x \right) = W\left( {{x_0}} \right){e^{ - \int\limits_{{x_0}}^x {{a_1}\left( t \right)dt} }},\]
где \({a_1}\) − коэффициент перед производной \({y^{\left( {n - 1} \right)}}\) в дифференциальном уравнении. Здесь мы считаем,
что коэффициент \({a_0}\left( x \right)\) перед \({y^{\left( n \right)}}\) в дифференциальном уравнении равен \(1.\)
В противном случае формула Лиувилля-Остроградского принимает вид:
\[
{W\left( x \right) = W\left( {{x_0}} \right){e^{ - \int\limits_{{x_0}}^x {\frac{{{a_1}\left( t \right)}}{{{a_0}\left( t \right)}}dt} }},}\;\;
{{a_0}\left( t \right) \ne 0,\;\;t \in \left[ {a,b} \right].}
\]
Понижение порядка однородного линейного уравнения
Порядок линейного однородного уравнения
\[
{Ly\left( x \right) = {y^{\left( n \right)}} + {a_1}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots }
+ {{a_{n - 1}}\left( x \right)y' + {a_n}\left( x \right)y = 0}
\]
можно понизить на единицу с помощью подстановки \(y' = yz.\) К сожалению, обычно такая подстановка не упрощает решение,
поскольку новое уравнение относительно переменной \(z\) является нелинейным.
Если известно частное решение \({y_1},\) то порядок дифференциального уравнения понижается (при сохранении его линейности) в результате замены \[y = {y_1}z,\;\;z' = u.\] В общем случае, если известно \(k\) линейно независимых частных решений, то порядок уравнения можно понизить на \(k\) единиц. |
|
Пример 1
|
|
Показать, что функции \(x,\) \(\sin x,\) \(\cos x\) являются линейно независимыми.
Решение. |
|
Пример 2
|
|
Показать, что функции \(x,{x^2},{x^3},{x^4}\) образуют линейно независимую систему.
Решение. |
|
Пример 3
|
|
Составить дифференциальное уравнение, фундаментальная система которого образована функциями \(1,{x^2},{e^x}.\)
Решение. |
|
Пример 4
|
|
Найти общее решение уравнения \(\left( {2x - 3} \right)y''' - \left( {6x - 7} \right)y'' + 4xy' - 4y = 0,\)
если известны частные решения \({y_1} = {e^x},{y_2} = {e^{2x}}.\)
Решение. |