Линейное однородное уравнение \(n\)-го порядка имеет вид
\[{y^{\left( n \right)}} + {a_1}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots + {a_{n - 1}}\left( x \right)y' + {a_n}\left( x \right)y = 0,\]
где коэффициенты \({a_1}\left( x \right),{a_2}\left( x \right), \ldots ,{a_n}\left( x \right)\)
являются непрерывными функциями на некотором отрезке \(\left[ {a,b} \right].\)
Левую часть уравнения можно записать сокращенно, используя
линейный дифференциальный оператор \(L:\)
\[Ly\left( x \right) = 0,\]
где \(L\) обозначает совокупность операций дифференцирования, умножения на коэффициенты \({a_i}\left( x \right)\) и сложения.
Оператор \(L\) является линейным, и, поэтому, обладает следующими свойствами:
\(L\left[ {{y_1}\left( x \right) + {y_2}\left( x \right)} \right] = L\left[ {{y_1}\left( x \right)} \right] + L\left[ {{y_2}\left( x \right)} \right],\)
\(L\left[ {Cy\left( x \right)} \right] = CL\left[ {y\left( x \right)} \right],\)
где \({{y_1}\left( x \right)},\) \({{y_2}\left( x \right)}\) − произвольные функции, дифференцируемые \(n - 1\) раз, \(C\) − любое число.
Из свойств оператора \(L\) следует, что если функции \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}\) являются решениями однородного дифференциального уравнения \(n\)-го порядка, то функция вида
\[y\left( x \right) = {C_1}{y_1} + {C_2}{y_2} + \cdots + {C_n}{y_n},\]
где \({C_1},{C_2}, \ldots ,{C_n}\) − произвольные постоянные, также будет удовлетворять данному уравнению.
Последнее выражение представляет собой
общее решение однородного дифференциального уравнения, если
указанные функции \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}\) образуют
фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений
Совокупность \(n\)
линейно независимых частных решений \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}\)
называется
фундаментальной системой линейного однородного дифференциального уравнения \(n\)-го порядка.
Функции \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}\) являются
линейно независимыми
на отрезке \(\left[ {a,b} \right],\) если тождество
\[{\alpha _1}{y_1} + {\alpha _2}{y_2} + \cdots + {\alpha _n}{y_n} \equiv 0\]
выполняется лишь при условии
\[{\alpha _1} = {\alpha _2} = \cdots = {\alpha _n} = 0,\]
где числа \({\alpha _1},{\alpha _2}, \ldots ,{\alpha _n}\) одновременно не равны \(0.\)
Для проверки функций на линейную независимость удобно использовать
определитель Вронского или
вронскиан:
\[
{W\left( x \right) = {W_{{y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}}}\left( x \right) }
= {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}}&{{y_2}}& \cdots &{{y_n}}\\
{{y'_1}}&{{y'_2}}& \cdots &{{y'_n}}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
{y_1^{\left( {n - 1} \right)}}&{y_2^{\left( {n - 1} \right)}}& \cdots &{y_n^{\left( {n - 1} \right)}}
\end{array}} \right|.}
\]
Если функции \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n},\) дифференцируемые \(n - 1\) раз, являются
линейно зависимыми на отрезке \(\left[ {a,b} \right],\) то выполняется тождество:
\[W\left( x \right) \equiv 0.\]
Соответственно, если эти функции
линейно независимые на \(\left[ {a,b} \right],\) то
справедлива формула
\[W\left( x \right) \ne 0.\]
Фундаментальная система решений однозначно определяет линейное однородное дифференциальное уравнение. В частности, уравнение 3-го порядка
записывается по известной фундаментальной системе \({y_1},{y_2},{y_3}\) через определитель в следующем виде:
\[
{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}}&{{y_2}}&{{y_3}}&y\\
{{y'_1}}&{{y'_2}}&{{y'_3}}&y'\\
{{y''_1}}&{{y''_2}}&{{y''_3}}&y''\\
{{y'''_1}}&{{y'''_2}}&{{y'''_3}}&y'''
\end{array}} \right| = 0.}
\]
Выражение для дифференциального уравнения \(n\)-го порядка записывается аналогично:
\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}}&{{y_2}}& \cdots &{{y_n}}&y\\
{{y'_1}}&{{y'_2}}& \cdots &{{y'_n}}&y'\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
{y_1^{\left( n \right)}}&{y_2^{\left( n \right)}}& \cdots &{y_n^{\left( n \right)}}&{{y^{\left( n \right)}}}
\end{array}} \right| = 0.\]
Формула Лиувилля-Остроградского
Пусть функции \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}\) образуют фундаментальную систему решений дифференциального
уравнения \(n\)-го порядка. Предположим, что точка \({x_0}\) принадлежит отрезку \(\left[ {a,b} \right].\)
Тогда для определителя Вронского справедлива
формула Лиувилля-Остроградского:
\[W\left( x \right) = W\left( {{x_0}} \right){e^{ - \int\limits_{{x_0}}^x {{a_1}\left( t \right)dt} }},\]
где \({a_1}\) − коэффициент перед производной \({y^{\left( {n - 1} \right)}}\) в дифференциальном уравнении. Здесь мы считаем,
что коэффициент \({a_0}\left( x \right)\) перед \({y^{\left( n \right)}}\) в дифференциальном уравнении равен \(1.\)
В противном случае
формула Лиувилля-Остроградского принимает вид:
\[
{W\left( x \right) = W\left( {{x_0}} \right){e^{ - \int\limits_{{x_0}}^x {\frac{{{a_1}\left( t \right)}}{{{a_0}\left( t \right)}}dt} }},}\;\;
{{a_0}\left( t \right) \ne 0,\;\;t \in \left[ {a,b} \right].}
\]
Понижение порядка однородного линейного уравнения
Порядок линейного однородного уравнения
\[
{Ly\left( x \right) = {y^{\left( n \right)}} + {a_1}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots }
+ {{a_{n - 1}}\left( x \right)y' + {a_n}\left( x \right)y = 0}
\]
можно понизить на единицу с помощью подстановки \(y' = yz.\) К сожалению, обычно такая подстановка не упрощает решение,
поскольку новое уравнение относительно переменной \(z\) является нелинейным.
Если известно частное решение \({y_1},\) то порядок дифференциального уравнения понижается (при сохранении его линейности) в результате замены
\[y = {y_1}z,\;\;z' = u.\]
В общем случае, если известно \(k\) линейно независимых частных решений, то порядок уравнения можно понизить на \(k\) единиц.