|
|
|
|
Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
|
|
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида
\[y'' + py' + qy = 0,\]
где \(p, q\) − постоянные коэффициенты.
Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:
\[{k^2} + pk + q = 0.\]
Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:
Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: \(D > 0.\) Тогда корни характеристического уравнения
\({k_1}\) и \({k_2}\) действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией
\[y\left( x \right) = {C_1}{e^{{k_1}x}} + {C_2}{e^{{k_2}x}},\]
где \({C_1}\) и \({C_2}\) − произвольные действительные числа.
Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: \(D = 0.\) Тогда корни действительны и равны.
В этом случае говорят, что существует один корень \({k_1}\) второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:
\[y\left( x \right) = \left( {{C_1}x + {C_2}} \right){e^{{k_1}x}}.\]
Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: \(D < 0.\)
Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни \({k_1} = \alpha + \beta i,\;{k_2} = \alpha - \beta i.\)
Общее решение записывается в виде
\[y\left( x \right) = {e^{\alpha x}}\left[ {{C_1}\cos \left( {\beta x} \right) + {C_2}\sin \left( {\beta x} \right)} \right].\]
Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:
|
|
Пример 1
|
|
Решить дифференциальное уравнение \(y'' - 6' + 5y = 0.\)
Решение.
Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение:
\[{k^2} - 6k + 5 = 0.\]
Корни данного уравнения равны \({k_1} = 1,\;{k_2} = 5.\) Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид:
\[y\left( x \right) = {C_1}{e^x} + {C_2}{e^{5x}},\]
где \({C_1}\) и \({C_2}\) − произвольные постоянные.
|
|
Пример 2
|
|
Найти общее решение дифференциального уравнения \(y'' - 6y' + 9y = 0.\)
Решение.
Вычислим корни характеристического уравнения:
\[
{{k^2} - 6k + 9 = 0,}\;\;
{\Rightarrow D = 36 - 4 \cdot 9 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {k_{1,2}} = 3.}
\]
Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: \({k_1} = 3.\)
Поэтому общее решение дифференциального уравнения определяется формулой
\[y\left( x \right) = \left( {{C_1}x + {C_2}} \right){e^{3x}},\]
где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные действительные числа.
|
|
Пример 3
|
|
Решить дифференциальное уравнение \(y'' + 4y' + 5y = 0.\)
Решение.
Сначала запишем соответствующее характеристическое уравнение и определим его корни:
\[
{{k^2} - 4k + 5 = 0,}\;\;
{\Rightarrow D = 16 - 4 \cdot 5 = - 4,}\;\;
{\Rightarrow {k_{1,2}} = \frac{{4 \pm \sqrt { - 4} }}{2} }
= {\frac{{4 \pm 2i}}{2} = 2 \pm i.}
\]
Таким образом, характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней:
\({k_1} = 2 + i,\) \({k_2} = 2 - i.\) В этом случае общее решение выражается формулой
\[y\left( x \right) = {e^{2x}}\left[ {{C_1}\cos x + {C_2}\sin x} \right],\]
где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные постоянные.
|
|
Пример 4
|
|
Решить уравнение \(y'' + 25y = 0.\)
Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид:
\[{k^2} + 25 = 0.\]
Корни этого уравнения являются чисто мнимыми:
\[{k^2} = - 25,\;\; \Rightarrow {k_1} = 5i,\;\;{k_2} = - 5i.\]
Тогда ответ записывается в следующем виде:
\[y\left( x \right) = {C_1}\cos \left( {5x} \right) + {C_2}\sin\left( {5x} \right),\]
где \({C_1},\) \({C_2}\) − постоянные интегрирования.
|
|
Пример 5
|
|
Решить уравнение \(y'' + 4iy = 0.\)
Решение.
В данном уравнении коэффициент перед \(y\) является комплексным числом. Общее решение линейного дифференциального уравнения
с постоянными комплексными коэффициентами конструируется так же, как и в случае действительных коэффициентов.
Сначала запишем характеристическое уравнение:
\[{k^2} + 4i = 0.\]
Определим корни уравнения:
\[
{{k^2} = - 4i,}\;\;
{\Rightarrow {k_{1,2}} = \pm \sqrt { - 4i} }
= { \pm \sqrt { - 1} \sqrt 4 \sqrt i }
= { \pm 2i\sqrt i .}
\]
Вычислим отдельно квадратный корень из мнимой единицы. Для этого число \(i\) удобно представить в тригонометрической форме:
\[
{i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2} = {e^{i\large\frac{\pi }{2}\normalsize}},}\;\;
{\Rightarrow \sqrt i = \sqrt {{e^{i\large\frac{\pi }{2}\normalsize}}} }
= {{e^{\left( {i{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} \cdot {\large\frac{1}{2}\normalsize}} \right)}} }
= {{e^{i\large\frac{\pi }{4}\normalsize}} }
= {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4} }
= {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}.}
\]
Корни характеристического уравнения будут равны:
\[
{{k_{1,2}} = \pm 2i\sqrt i = \pm 2i\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) }
= {\pm \left( { - \sqrt 2 + \sqrt 2 i} \right),}\;\;
{\Rightarrow {k_1} = - \sqrt 2 + \sqrt 2 i,\;\;{k_2} = \sqrt 2 - \sqrt 2 i.}
\]
Общее решение исходного дифференциального уравнения будет выражаться в виде линейной
комбинации экспоненциальных функций:
\[y\left( x \right) = {C_1}{e^{\left( { - \sqrt 2 + \sqrt 2 i} \right)x}} + {C_2}{e^{\left( {\sqrt 2 - \sqrt 2 i} \right)x}},\]
где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные постоянные.
|
|
|
|
