Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

Математический Анализ

Определение первообразной и неопределенного интеграла

Функция \(F\left( x \right)\) называется первообразной функции \(f\left( x \right),\) если \[F'\left( x \right) = f\left( x \right).\] Множество всех первообразных некоторой функции \(f\left( x \right)\) называется неопределенным интегралом функции \(f\left( x \right)\) и обозначается как \[\int {f\left( x \right)dx} .\] Таким образом, если \(F\) - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение \[\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C,\] где \(C\) - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах \(f\) и \(g\) - функции переменной \(x,\) \(F\) - первообразная функции \(f\) и \(a, k, C\) − постоянные величины.

\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx} \)
\(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)
\(\int {f\left( {ax} \right)dx} = {\large\frac{1}{a}\normalsize} F\left( {ax} \right) + C\)
\(\int {f\left( {ax + b} \right)dx} = {\large\frac{1}{a}\normalsize} F\left( {ax + b} \right) + C\)

Таблица интегралов

В формулах ниже предполагается, что \(a,\) \(p\left( {p \ne 1} \right),\) \(C\) − - действительные постоянные, \(b\) − основание показательной функции (\({b \ne 1,b > 0}\)).

\(\int {adx} = ax + C\)	\(\int {xdx} = {\large\frac{{{x^2}}}{2}\normalsize} + C\)
\(\int {{x^2}dx} = {\large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize} + C\)	\(\int {{x^p}dx} = {\large\frac{{{x^{p + 1}}}}{{p + 1}}\normalsize} + C\)
\(\int {\large\frac{{dx}}{x}\normalsize} = \ln \left\| x \right\| + C\)	\(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\)
\(\int {{b^x}dx} = {\large\frac{{{b^x}}}{{\ln b}}\normalsize} + C\)	\(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\)
\(\int {\cos xdx} = \sin x + C\)	\(\int {\tan xdx} = - \ln \left\| {\cos x} \right\| + C\)
\(\int {\cot xdx} = \ln \left\| {\sin x} \right\| + C\)	\(\int {\sec xdx} = \ln \left\| {\tan\left( {\large\frac{x}{2}\normalsize + \large\frac{\pi }{4}\normalsize} \right)} \right\| + C\)
\(\int {\csc xdx} = \ln \left\| {\tan\large\frac{x}{2}\normalsize} \right\| + C\)	\(\int {{\sec^2}xdx} = \tan x + C\)
\(\int {{\csc^2}xdx} = -\cot x + C\)	\(\int {\sec x\tan xdx} = \sec x + C\)
\(\int {\csc x\cot xdx} = -\csc x + C\)	\(\int {\large\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}\normalsize} = \arctan x + C\)
\(\int {\large\frac{{dx}}{{{a^2} + {x^2}}}\normalsize} = {\large\frac{1}{a}\normalsize}\arctan {\large\frac{x}{a}\normalsize} + C\)	\(\int {\large\frac{{dx}}{{1 - {x^2}}}\normalsize} = {\large\frac{1}{2}\normalsize}\ln \left\| {{\large\frac{{1 + x}}{{1 - x}}\normalsize}} \right\| + C\)
\(\int {\large\frac{{dx}}{{{a^2} - {x^2}}}\normalsize} = {\large\frac{1}{{2a}}\normalsize}\ln\left\| {\large{\frac{{a + x}}{{a - x}}\normalsize}} \right\| + C\)	\(\int {\large\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize} = \arcsin x + C\)
\(\int {\large\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\normalsize} = \arcsin {\large\frac{x}{a}\normalsize} + C\)	\(\int {\large\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} \pm {a^2}} }}\normalsize} = \ln \left\| {x + \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} } \right\| + C\)
\(\int {\large\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}\normalsize} = \text{arcsec}\left\| x \right\| + C\)	\(\int {\sinh xdx} = \cosh x + C\)
\(\int {\cosh xdx} = \sinh x + C\)	\(\int {{\text{sech}^2}xdx} = \tanh x + C\)
\(\int {{\text{csch}^2}xdx} = -\text{coth}\,x + C\)	\(\int {\text{sech}\,x\tanh xdx} = - \text{sech}\,x + C\)
\(\int {\text{csch}\,x\coth xdx} = - \text{csch}\,x + C\)	\(\int {\tanh xdx} = \ln \cosh x + C\)

Вычислить \(\int {\left( {\sqrt x + \sqrt[\large 3\normalsize]{x}} \right)dx}.\)

Решение.

\[ {\int {\left( {\sqrt x + \sqrt[\large 3\normalsize]{x}} \right)dx} } = {\int {\sqrt x dx} + \int {\sqrt[\large 3\normalsize]{x}dx} } = {\int {{x^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}dx} + \int {{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}dx} } = {\frac{{{x^{\large\frac{1}{2}\normalsize + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C } = {\frac{{2{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{3} + \frac{{3{x^{\large\frac{4}{3}\normalsize}}}}{4} } = {\frac{{2\sqrt {{x^3}} }}{3} + \frac{{3\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^4}}}}}{4} + C.} \]

Вычислить интеграл \(\int {\left( {\large\frac{3}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}\normalsize + \large\frac{2}{{\sqrt x }}\normalsize} \right)dx} .\)

Решение.

Преобразуя выражение и применяя формулу для интеграла степенной функции, получаем \[ {\int {\left( {\frac{3}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}} + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)dx} } = {\int {\frac{{3dx}}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}} + \int {\frac{{2dx}}{{\sqrt x }}} } = {3\int {{x^{ - \large\frac{1}{3}\normalsize}}dx} + 2\int {{x^{ - \large\frac{1}{2}\normalsize}}dx} } = {3 \cdot \frac{{{x^{ - \large\frac{1}{3}\normalsize + 1}}}}{{ - \large\frac{1}{3}\normalsize + 1}} + 2 \cdot \frac{{{x^{ - \large\frac{1}{2}\normalsize + 1}}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} + C } = {\frac{{9{x^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{2} + 4{x^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} + C } = {\frac{{9\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^2}}}}}{2} + 4\sqrt x + C.} \]

Вычислить \(\int {\large\frac{{4dx}}{{2 + 3{x^2}}}\normalsize}.\)

Решение.

Используем табличный интеграл \(\int {\large\frac{{dx}}{{{a^2} + {x^2}}}\normalsize} = {\large\frac{1}{a}\normalsize} \arctan {\large\frac{x}{a}\normalsize} + C.\) Тогда \[ {\int {\frac{{4dx}}{{2 + 3{x^2}}}} } = {4\int {\frac{{dx}}{{3\left( {\frac{2}{3} + {x^2}} \right)}}} } = {\frac{4}{3}\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} } \right)}^2} + {x^2}}}} } = {\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{3}} }}\arctan \frac{x}{{\sqrt {\frac{2}{3}} }} + C } = {\frac{4}{{\sqrt 6 }}\arctan \frac{{\sqrt 3 x}}{{\sqrt 2 }} + C.} \]

Вычислить \(\int {\large\frac{{\pi dx}}{{\sqrt {\pi - {x^2}} }}\normalsize}.\)

Решение.

Воспользовавшись табличным интегралом \(\int {\large\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\normalsize} = \arcsin {\large\frac{x}{a}\normalsize} + C,\) находим \[ {\int {\frac{{\pi dx}}{{\sqrt {\pi - {x^2}} }}} } = {\pi \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt \pi } \right)}^2} - {x^2}} }}} } = {\pi \arcsin \frac{x}{{\sqrt \pi }} + C.} \]

Вычислить \(\int {{{\tan }^2}xdx}.\)

Решение.

Поскольку \({\tan ^2}x = {\sec ^2}x - 1,\) интеграл равен \[ {\int {{{\tan }^2}xdx} } = {\int {\left( {{{\sec }^2}x - 1} \right)dx} } = {\int {{{\sec }^2}xdx} - \int {dx} } = {\tan x - x + C.} \]

Вычислить интеграл \(\int {\large\frac{{dx}}{{{\sin^2}2x}}\normalsize},\) не используя замену переменной.

Решение.

Используя формулу двойного угла \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\) и тождество \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) получаем \[ {\int {\frac{{dx}}{{{\sin^2}2x}}} } = {\frac{1}{4}\int {\frac{{dx}}{{{\sin^2}x{{\cos }^2}x}}} } = {\frac{1}{4}\int {\frac{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)dx}}{{{\sin^2}x{{\cos }^2}x}}} } = {\frac{1}{4}\int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{\sin^2}x}}} \right)dx} } = {\frac{1}{4}\int {{{\sec }^2}xdx} + \frac{1}{4}\int {{\csc^2}xdx} } = {\frac{1}{4}\tan x - \frac{1}{4}\cot x + C = \frac{1}{4}\left( {\tan x - \cot x} \right) + C.} \]