Неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами

Данные уравнения имеют вид \[{y^{\left( n \right)}}\left( x \right) + {a_1}{y^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right) + \cdots + {a_{n - 1}}y'\left( x \right) + {a_n}y\left( x \right) = f\left( x \right),\] где \({a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}\) − действительные или комплексные числа, а правая часть \(f\left( x \right)\) является непрерывной функцией на некотором отрезке \(\left[ {a,b} \right].\)

Используя линейный дифференциальный оператор \(L\left( D \right),\) равный \[L\left( D \right) = {D^n} + {a_1}{D^{n - 1}} + \cdots + {a_{n - 1}}D + {a_n},\] неоднородное дифференциальное уравнение можно записать в виде \[L\left( D \right)y\left( x \right) = f\left( x \right).\] Общее решение \(y\left( x \right)\) неоднородного уравнения представляется в виде суммы общего решения \({y_0}\left( x \right)\) соответствующего однородного уравнения и частного решения \({y_1}\left( x \right)\) неоднородного уравнения: \[y\left( x \right) = {y_0}\left( x \right) + {y_1}\left( x \right).\] При произвольной правой части \(f\left( x \right)\) для поиска общего решения неоднородного уравнения используется метод вариации постоянных. В случае, если правая часть представляет собой произведение многочлена и экспоненциальной функции, частное решение удобнее искать методом неопределенных коэффициентов. Предположим, что общее решение однородного дифференциального уравнения \(n\)-го порядка известно и представляется формулой \[ {{y_0}\left( x \right) = {C_1}{Y_1}\left( x \right) + {C_2}{Y_2}\left( x \right) + \cdots } + {{C_n}{Y_n}\left( x \right).} \] Метод вариации постоянных (или метод Лагранжа) заключается в том, что вместо постоянных чисел \({C_1},{C_2}, \ldots ,{C_n}\) мы рассматриваем функции \({C_1}\left( x \right),{C_2}\left( x \right), \ldots ,{C_n}\left( x \right).\) Эти функции подбираются таким образом, чтобы решение \[ {y = {C_1}\left( x \right){Y_1}\left( x \right) + {C_2}\left( x \right){Y_2}\left( x \right) + \cdots } + {{C_n}\left( x \right){Y_n}\left( x \right)} \] удовлетворяло исходному неоднородному уравнению.

Производные \(n\) неизвестных функций \({C_1}\left( x \right),{C_2}\left( x \right), \ldots ,{C_n}\left( x \right)\) определяются из системы \(n\) уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} {C'_1}\left( x \right){Y_1}\left( x \right) + {C'_2}\left( x \right){Y_2}\left( x \right) + \cdots + {C'_n}\left( x \right){Y_n}\left( x \right) = 0\\ {C'_1}\left( x \right){Y'_1}\left( x \right) + {C'_2}\left( x \right){Y'_2}\left( x \right) + \cdots + {C'_n}\left( x \right){Y'_n}\left( x \right) = 0\\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ {C'_1}\left( x \right)Y_1^{\left( {n - 1} \right)}\left( x \right) + {C'_2}\left( x \right)Y_2^{\left( {n - 1} \right)}\left( x \right) + \cdots + {C'_n}\left( x \right)Y_n^{\left( {n - 1} \right)}\left( x \right) = f\left( x \right) \end{array} \right..\] Определителем этой системы является вронскиан функций \({Y_1},{Y_2}, \ldots ,{Y_n},\) образующих фундаментальную систему решений. В силу линейной независимости этих функций определитель не равен нулю и данная система однозначно разрешима. Окончательные выражения для функций \({C_1}\left( x \right),{C_2}\left( x \right), \ldots ,{C_n}\left( x \right)\) находятся в результате интегрирования. Если правая часть \(f\left( x \right)\) дифференциального уравнения представляет собой функцию вида \[ {{P_n}\left( x \right){e^{\alpha x}}\;\;\text{или}}\;\; {\left[ {{P_n}\left( x \right)\cos \beta x + {Q_m}\left( x \right)\sin\beta x} \right]{e^{\alpha x}},} \] где \({P_n}\left( x \right),{Q_m}\left( x \right)\) − многочлены степени \(n\) и \(m,\) соответственно, то для построения частного решения можно использовать метод неопределенных коэффициентов.

В этом случае мы ищем частное решение в форме, соответствующей структуре правой части уравнения. Так, например, для функции \[f\left( x \right) = {P_n}\left( x \right){e^{\alpha x}}\] частное решение имеет вид \[{y_1}\left( x \right) = {x^s}{A_n}\left( x \right){e^{\alpha x}},\] где \({A_n}\left( x \right)\) − многочлен той же степени \(n,\) как и \({P_n}\left( x \right).\) Коэффициенты многочлена \({A_n}\left( x \right)\) определяются прямой подстановкой пробного решения \({y_1}\left( x \right)\) в неоднородное дифференциальное уравнение.

В так называемом резонансном случае, когда число \(\alpha\) в показательной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, в частном решении появляется дополнительный множитель \({x^s},\) где \(s\) равно кратности корня. В нерезонансном случае полагают \(s = 0.\)

Такой же алгоритм применяется, когда правая часть уравнения задана в виде \[f\left( x \right) = \left[ {{P_n}\left( x \right)\cos \beta x + {Q_m}\left( x \right)\sin\beta x} \right]{e^{\alpha x}}.\] Здесь частное решение имеет аналогичную структуру и записывается как \[{y_1}\left( x \right) = {x^s}\left[ {{A_n}\left( x \right)\cos \beta x + {B_n}\left( x \right)\sin\beta x} \right]{e^{\alpha x}},\] где \({{A_n}\left( x \right)},\) \({{B_n}\left( x \right)}\) − многочлены степени \(n\) (при \(n \ge m\)), а степень \(s\) в дополнительном множителе \({x^s}\) равна кратности комплексного корня \(\alpha \pm \beta i\) в резонансном случае (т.е. при совпадении чисел \(\alpha\) и \(\beta\) с комплексным корнем характеристического уравнения), и, соответственно, \(s = 0\) в нерезонансном случае. Для линейных неоднородных уравнений справедлив принцип суперпозиции, который формулируется следующим образом. Пусть правая часть \(f\left( x \right)\) представляет собой сумму двух функций: \[f\left( x \right) = {f_1}\left( x \right) + {f_2}\left( x \right).\] Предположим, что \({y_1}\left( x \right)\) является решением уравнения \[L\left( D \right)y\left( x \right) = {f_1}\left( x \right),\] а функция \({y_2}\left( x \right)\) является, соответственно, решением второго уравнения \[L\left( D \right)y\left( x \right) = {f_2}\left( x \right).\] Тогда сумма функций \[y\left( x \right) = {y_1}\left( x \right) + {y_2}\left( x \right)\] будет являться решением линейного неоднородного уравнения \[ {L\left( D \right)y\left( x \right) = f\left( x \right) } = {{f_1}\left( x \right) + {f_2}\left( x \right).} \]

   Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения \(y''' + 3y'' - 10y' = x - 3.\) Сначала найдем общее решение однородного уравнения \[y''' + 3y'' - 10y' = 0.\] Вычислим корни характеристического уравнения: \[ {{\lambda ^3} + 3{\lambda ^2} - 10\lambda = 0,}\;\; {\Rightarrow \lambda \left( {{\lambda ^2} + 3\lambda - 10} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \lambda \left( {\lambda - 2} \right)\left( {\lambda + 5} \right) = 0.} \] Следовательно, \[{\lambda _1} = 0,\;\;{\lambda _2} = 2,\;\;{\lambda _3} = - 5.\] Общее решение однородного уравнения имеет вид: \[{y_0}\left( x \right) = {C_1} + {C_2}{e^{2x}} + {C_3}{e^{ - 5x}},\] где \({C_1},\) \({C_2},\) \({C_3}\) − произвольные числа.

В правой части уравнения содержится лишь многочлен. Однако, если учесть, что \({e^0} = 1,\) то видно, что на самом деле мы имеем резонансный случай (в замаскированном виде), поскольку один из корней характеристического уравнения также равен нулю: \({\lambda_1} = 0.\) Поэтому частное решение будем искать в виде \[{y_1}\left( x \right) = x\left( {Ax + B} \right) = A{x^2} + Bx.\] Подставляем производные \[{y'_1} = 2Ax + B,\;\;{y''_1} = 2A,\;\;{y'''_1} = 0.\] в неоднородное уравнение и определяем коэффициенты \(A, B:\) \[ {0 + 3 \cdot 2A - 10\left( {2Ax + B} \right) = x - 3,}\;\; {\Rightarrow 6A - 20Ax - 10B = x - 3,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 20A = 1}\\ {6A - 10B = - 3} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A = - \frac{1}{{20}}}\\ {B = \frac{{27}}{{100}}} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A = - \frac{5}{{100}}}\\ {B = \frac{{27}}{{100}}} \end{array}} \right..} \] Частное решение \({y_1}\) записывается как \[ {{y_1}\left( x \right) = x\left( { - \frac{5}{{100}}x + \frac{{27}}{{100}}} \right) } = {\frac{x}{{100}}\left( {27 - 5x} \right).} \] Итак, общее решение неоднородного дифференциального уравнения выражается формулой \[ {y\left( x \right) = {y_0}\left( x \right) + {y_1}\left( x \right) } = {{C_1} + {C_2}{e^{2x}} + {C_3}{e^{ - 5x}} } + {\frac{x}{{100}}\left( {27 - 5x} \right).} \]

   Пример 2

Решить дифференциальное уравнение \(y''' - y' = \sin 3x.\) Построим общее решение однородного уравнения \[y''' - y' = 0.\] Корни характеристического уравнения равны: \[ {{\lambda ^3} - \lambda = 0,}\;\; {\Rightarrow \lambda \left( {{\lambda ^2} - 1} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \lambda \left( {\lambda - 1} \right)\left( {\lambda + 1} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _1} = 0,\;{\lambda _2} = 1,\;{\lambda _3} = - 1.} \] Следовательно, общее решение однородного уравнения записывается в виде \[{y_0}\left( x \right) = {C_1} + {C_2}{e^x} + {C_3}{e^{ - x}},\] где \({C_1},{C_2},{C_3}\) − произвольные числа.

Исходя из вида правой части, будем искать частное решение в виде пробной функции \[{y_1}\left( x \right) = A\sin 3x + B\cos 3x.\] Производные этой функции имеют следующий вид: \[{y'_1} = 3A\cos 3x - 3B\sin 3x,\] \[{y''_1} = - 9A\sin 3x - 9B\cos 3x,\] \[{y'''_1} = - 27A\cos 3x + 27B\sin 3x.\] Подставляя найденные производные в уравнение, получаем \[ {- 27A\cos 3x + 27B\sin 3x - 3A\cos 3x + 3B\sin 3x = \sin 3x,}\;\; {\Rightarrow - 30A\cos 3x + 30B\sin 3x = \sin 3x,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 30A = 0}\\ {30B = 1} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A = 0}\\ {B = \frac{1}{{30}}} \end{array}} \right..} \] Итак, частное решение записывается как \[{y_1}\left( x \right) = \frac{1}{{30}}\cos 3x.\] Соответственно, общее решение неоднородного уравнения описывается выражением \[ {y\left( x \right) = {y_0}\left( x \right) + {y_1}\left( x \right) } = {{C_1} + {C_2}{e^x} + {C_3}{e^{ - x}} + \frac{1}{{30}}\cos 3x.} \]

   Пример 3

Решить дифференциальное уравнение \({y^{IV}} - y = 2\cos x.\) Сначала рассмотрим однородное уравнение \[{y^{IV}} - y = 0\] и построим его общее решение. Характеристическое уравнение \[{\lambda ^4} - 1 = 0\] имеет следующие корни: \[ {\left( {{\lambda ^2} - 1} \right)\left( {{\lambda ^2} + 1} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda - 1} \right)\left( {\lambda + 1} \right)\left( {{\lambda ^2} + 1} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _1} = 1,\;{\lambda _2} = - 1,\;{\lambda _{3,4}} = \pm i.} \] Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: \[ {{y_0}\left( x \right) = {C_1}{e^x} + {C_2}{e^{ - x}} } + {{C_3}\cos x + {C_4}\sin x,} \] где \({C_1}, \ldots ,{C_4}\) − произвольные числа.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Здесь мы имеем резонансный случай, поскольку выражение в правой части соответствует по структуре комплексному корню \(\alpha \pm i\beta = \pm i.\) Поэтому будем искать частное решение в виде \[{y_1}\left( x \right) = x\left( {A\cos x + B\sin x} \right).\] Производные этой функции равны: \[ {{y'_1} = A\cos x + B\sin x } + {x\left( { - A\sin x + B\cos x} \right),} \] \[ {{y''_1} = - A\sin x + B\cos x + \left( { - A\sin x + B\cos x} \right) } + {x\left( { - A\cos x - B\sin x} \right) } = { - 2A\sin x + 2B\cos x - x\left( {A\cos x + B\sin x} \right),} \] \[ {{y'''_1} = - 2A\cos x - 2B\sin x - \left( {A\cos x + B\sin x} \right) } - {x\left( { - A\sin x + B\cos x} \right) } = { - 3A\cos x - 3B\sin x + x\left( {A\sin x - B\cos x} \right),} \] \[ {{y^{IV}} = 3A\sin x - 3B\cos x + \left( {A\sin x - B\cos x} \right) } + {x\left( {A\cos x + B\sin x} \right) } = {4A\sin x - 4B\cos x + x\left( {A\cos x + B\sin x} \right).} \] Подставляем найденные производные в неоднородное уравнение и определяем коэффициенты \(A, B:\) \[\require{cancel} {4A\sin x - 4B\cos x + \cancel{x\left( {A\cos x + B\sin x} \right)} } - {\cancel{x\left( {A\cos x + B\sin x} \right)} } = {2\cos x,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4A = 0}\\ { - 4B = 2} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A = 0}\\ {B = - \frac{1}{2}} \end{array}} \right..} \] Итак, частное решение выражается в виде \[{y_1}\left( x \right) = - \frac{x}{2}\sin x.\] Тогда общее решение исходного неоднородного уравнения записывается как \[ {y\left( x \right) = {y_0}\left( x \right) + {y_1}\left( x \right) } = {{C_1}{e^x} + {C_2}{e^{ - x}} } + {{C_3}\cos x + {C_4}\sin x } - {\frac{x}{2}\sin x.} \]

   Пример 4

Решить уравнение \({y^{IV}} + y''' - 3y'' - 5y' - 2y = {e^{2x}} - {e^{ - x}}.\) Сначала найдем общее решение однородного уравнения \[{y^{IV}} + y''' - 3y'' - 5y' - 2y = 0.\] Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: \[ {{\lambda ^4} + {\lambda ^3} - 3{\lambda ^2} - 5\lambda - 2 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^4} - 2{\lambda ^3} + 3{\lambda ^3} - 6{\lambda ^2} + 3{\lambda ^2} - 6\lambda + \lambda - 2 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^3}\left( {\lambda - 2} \right) + 3{\lambda ^2}\left( {\lambda - 2} \right) + 3\lambda \left( {\lambda - 2} \right) + \lambda - 2 = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {{\lambda ^3} + 3{\lambda ^2} + 3\lambda + 1} \right)\left( {\lambda - 2} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {\lambda + 1} \right)^3}\left( {\lambda - 2} \right) = 0.} \] Видно, что уравнение имеет два корня: \[{\lambda _1} = - 1,\;\;{\lambda _2} = 2,\] причем кратность первого корня равна \(3.\)

Тогда общее решение однородного уравнения записывается в виде \[{y_0}\left( x \right) = \left( {{C_1} + {C_2}x + {C_3}{x^2}} \right){e^{ - x}} + {C_4}{e^{2x}},\] где \({C_1}, \ldots ,{C_4}\) − как обычно, произвольные числа.

Перейдем теперь к построению частного решения неоднородного уравнения. Используя принцип суперпозиции, удобно рассмотреть два неоднородных уравнения вида

1. \({y^{IV}} + y''' - 3y'' - 5y' - 2y = {e^{2x}};\) 

2. \({y^{IV}} + y''' - 3y'' - 5y' - 2y = -{e^{-x}}.\) 

Сумма правых частей этих уравнений соответствует правой части исходного неоднородного уравнения.

Заметим, что в обоих уравнениях возникают резонансные случаи. В первом уравнении число \(2\) в показателе экспоненциальной функции совпадает с корнем \({\lambda_2} = 2\) кратности \(1.\) Во втором уравнении число \(-1\) в показателе экспоненциальной функции совпадает с другим корнем \({\lambda_1} = -1,\) кратность которого равна \(3.\) С учетом этого будем искать частные решения \({y_1},\) \({y_2}\) − соответственно, для уравнений \(1\) и \(2\) − в виде \[{y_1} = Ax{e^{2x}},\;\;{y_2} = B{x^3}{e^{ - x}}.\] Для пробного решения \({y_1}\) производные имеют вид: \[ {{y'_1} = A\left( {{e^{2x}} + 2x{e^{2x}}} \right) } = {A\left( {2x + 1} \right){e^{2x}},} \] \[ {{y''_1} = A\left[ {2{e^{2x}} + \left( {4x + 2} \right){e^{2x}}} \right] } = {A\left( {4x + 4} \right){e^{2x}},} \] \[ {{y'''_1} = A\left[ {4{e^{2x}} + \left( {8x + 8} \right){e^{2x}}} \right] } = {A\left( {8x + 12} \right){e^{2x}},} \] \[ {{y_1^{IV}} = A\left[ {8{e^{2x}} + \left( {16x + 24} \right){e^{2x}}} \right] } = {A\left( {16x + 32} \right){e^{2x}}.} \] Подставляя это в первое уравнение, находим коэффициент \(A:\) \[ {A\left( {16x + 32} \right){e^{2x}} + A\left( {8x + 12} \right){e^{2x}} } - {3A\left( {4x + 4} \right){e^{2x}} } - {5A\left( {2x + 1} \right){e^{2x}} } - {2Ax{e^{2x}} } = {{e^{2x}},} \] \[ {\Rightarrow A\left( {\cancel{16x} + \cancel{8x} - \cancel{12x} - \cancel{10x} - \cancel{2x}} \right){e^{2x}} } + {A\left( {32 + \cancel{12} - \cancel{12} - 5} \right){e^{2x}} } = {{e^{2x}},} \] \[ \Rightarrow 27A = 1,\;\; \Rightarrow A = \frac{1}{{27}}.\] Следовательно, частное решение \({y_1}\) выражается формулой \[{y_1}\left( x \right) = \frac{x}{{27}}{e^{2x}}.\] Аналогично найдем частное решение \({y_2}.\) Производные пробной функции \({y_2}\) равны: \[ {{y'_2} = B\left( {3{x^2}{e^{ - x}} - {x^3}{e^{ - x}}} \right) } = {B\left( { - {x^3} + 3{x^2}} \right){e^{ - x}},} \] \[ {{y''_2} = B\left[ {\left( { - 3{x^2} + 6x} \right){e^{ - x}} - \left( { - {x^3} + 3{x^2}} \right){e^{ - x}}} \right] } = {B\left( {{x^3} - 6{x^2} + 6x} \right){e^{ - x}},} \] \[ {{y'''_2} = B\left[ {\left( {3{x^2} - 12x + 6} \right){e^{ - x}} - \left( {{x^3} - 6{x^2} + 6x} \right){e^{ - x}}} \right] } = {B\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 18x + 6} \right){e^{ - x}},} \] \[ {{y_2^{IV}} = B\left[ {\left( { - 3{x^2} + 18x - 18} \right){e^{ - x}} - \left( { - {x^3} + 9{x^2} - 18x + 6} \right){e^{ - x}}} \right] } = {B\left( {{x^3} - 12{x^2} + 36x - 24} \right){e^{ - x}}.} \] Подставляя найденные производные во второе уравнение, вычисляем коэффициент \(B:\) \[ {B\left( {{x^3} - 12{x^2} + 36x - 24} \right){e^{ - x}} } + {B\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 18x + 6} \right){e^{ - x}} } - {3B\left( {{x^3} - 6{x^2} + 6x} \right){e^{ - x}} } - {5B\left( { - {x^3} + 3{x^2}} \right){e^{ - x}} } - {2B{x^3}{e^{ - x}} } = { - {e^{ - x}},} \] \[ {\Rightarrow B\left( {\cancel{x^3} - \cancel{x^3} - \cancel{3{x^3}} + \cancel{5{x^3}} - \cancel{2{x^3}}} \right){e^{ - x}} } + {B\left( { - \cancel{12{x^2}} + \cancel{9{x^2}} + \cancel{18{x^2}} - \cancel{15{x^2}}} \right){e^{ - x}} } + {B\left( {\cancel{36x} - \cancel{18x} - \cancel{18x}} \right){e^{ - x}} } + {B\left( { - 24 + 6} \right){e^{ - x}} } = { - {e^{ - x}},} \] \[ \Rightarrow - 18B = - 1,\;\; \Rightarrow B = \frac{1}{{18}}.\] Получаем частное решение \({y_2}\) в следующем виде: \[{y_2}\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{18}}{e^{ - x}}.\] В соответствии с принципом суперпозиции, частное решение исходного неоднородного уравнения представляется как \[ {{y_{\text{неодн}}} = {y_1}\left( x \right) + {y_2}\left( x \right) } = {\frac{x}{{27}}{e^{2x}} + \frac{{{x^3}}}{{18}}{e^{ - x}}.} \] Окончательно общее решение уравнения имеет вид: \[ {y\left( x \right) = \left( {{C_1} + {C_2}x + {C_3}{x^2}} \right){e^{ - x}} + {C_4}{e^{2x}} } + {\frac{x}{{27}}{e^{2x}} + \frac{{{x^3}}}{{18}}{e^{ - x}} } = {\left( {{C_1} + {C_2}x + {C_3}{x^2} } + {\frac{{{x^3}}}{{18}}} \right){e^{ - x}} + \left( {{C_4} } + {\frac{x}{{27}}} \right){e^{2x}}.} \]

   Пример 5

Найти общее решение уравнения, используя метод вариации постоянных: \(y''' + y' = \large\frac{1}{{\cos x}}\normalsize.\) Решим сначала соответствующее однородное уравнение \[y''' + y' = 0.\] Корни его характеристического уравнения равны: \[ {{\lambda ^3} + \lambda = 0,}\;\; {\Rightarrow \lambda \left( {{\lambda ^2} + 1} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _1} = 0,\;{\lambda _{2,3}} = \pm i.} \] Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: \[{y_0}\left( x \right) = {C_1} + {C_2}\cos x + {C_3}\sin x,\] где \({C_1},{C_2},{C_3}\) − произвольные числа.

Чтобы построить общее решение неоднородного уранвения, в соответствии с методом вариации постоянных, вместо чисел \({C_1},{C_2},{C_3}\) будем рассматривать функции \({C_1}\left( x \right),\) \({C_2}\left( x \right),\) \({C_3}\left( x \right).\) Эти функции будут удовлетворять неоднородному уравнению при условии \[\left\{ \begin{array}{l} {C'_1}{Y_1} + {C'_2}{Y_2} + {C'_3}{Y_3} = 0\\ {C'_1}{Y'_1} + {C'_2}{Y'_2} + {C'_3}{Y'_3} = 0\\ {C'_1}{Y''_1} + {C'_2}{Y''_2} + {C'_3}{Y''_3} = \frac{1}{{\cos x}} \end{array} \right..\] Здесь функции \({Y_1},{Y_2},{Y_3}\) представляют собой фундаментальную систему решений. Они были найдены при решении однородного уравнения: \[{Y_1} = 1,\;\;\;{Y_2} = \cos x,\;\;\;{Y_3} = \sin x.\] Тогда система уравнений принимает вид: \[ {\left\{ \begin{array}{l} {C'_1} \cdot 1 + {C'_2}\cos x + {C'_3}\sin x = 0\\ {C'_1} \cdot 0 + {C'_2}\left( { - \sin x} \right) + {C'_3}\cos x = 0\\ {C'_1} \cdot 0 + {C'_2}\left( { - \cos x} \right) + {C'_3}\left( { - \sin x} \right) = \frac{1}{{\cos x}} \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {C'_1} + {C'_2}\cos x + {C'_3}\sin x = 0\\ - {C'_2}\sin x + {C'_3}\cos x = 0\\ - {C'_2}\cos x - {C'_3}\sin x = \frac{1}{{\cos x}} \end{array} \right..} \] Главный определитель (вронскиан) равен \[ {W = \left| {\begin{array}{*{20}{l}} 1&{\cos x}&{\sin x}\\ 0&{ - \sin x}&{\cos x}\\ 0&{ - \cos x}&{ - \sin x} \end{array}} \right| } = {1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{l}} { - \sin x}&{\cos x}\\ { - \cos x}&{ - \sin x} \end{array}} \right| } = {{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1.} \] Найдем выражения для производных \({C'_1},{C'_2},{C'_3},\) вычислив три других определителя: \[ {{\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\cos x}&{\sin x}\\ 0&{ - \sin x}&{\cos x}\\ {\frac{1}{{\cos x}}}&{ - \cos x}&{ - \sin x} \end{array}} \right| } = {\frac{1}{{\cos x}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x}&{\sin x}\\ { - \sin x}&{\cos x} \end{array}} \right| } = {\frac{1}{{\cos x}}\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) } = {\frac{1}{{\cos x}},} \] \[ {{\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{\sin x}\\ 0&0&{\cos x}\\ 0&{\frac{1}{{\cos x}}}&{ - \sin x} \end{array}} \right| } = {1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\cos x}\\ {\frac{1}{{\cos x}}}&{ - \sin x} \end{array}} \right| } = { - \frac{1}{{\cos x}} \cdot \cos x = - 1,} \] \[ {{\Delta _3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\cos x}&0\\ 0&{ - \sin x}&0\\ 0&{ - \cos x}&{\frac{1}{{\cos x}}} \end{array}} \right| } = {1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin x}&0\\ { - \cos x}&{\frac{1}{{\cos x}}} \end{array}} \right| } = { - \sin x \cdot \frac{1}{{\cos x}} } = { - \tan x.} \] Следовательно, производные \({C'_1},{C'_2},{C'_3}\) выражаются формулами: \[ {{C'_1} = \frac{{{\Delta _1}}}{W} = \frac{1}{{\cos x}},}\;\; {{C'_2} = \frac{{{\Delta _2}}}{W} = - 1,}\;\; {{C'_3} = \frac{{{\Delta _3}}}{W} = - \tan x.} \] Интегралы от полученных функций являются табличными, так что мы сразу можем записать: \[{C_1}\left( x \right) = \int {\frac{{dx}}{{\cos x}}} = \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + {A_1},\] \[{C_2}\left( x \right) = \int {\left( { - 1} \right)dx} = - x + {A_2},\] \[{C_3}\left( x \right) = \int {\left( { - \tan x} \right)dx} = \ln \left| {\cos x} \right| + {A_3},\] где \({A_1},\) \({A_2},\) \({A_3},\) − постоянные интегрирования.

Подставляя это в общее решение, получаем ответ в следующем виде: \[ {y\left( x \right) = {C_1}\left( x \right) + {C_2}\left( x \right)\cos x + {C_3}\left( x \right)\sin x } = {\ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + {A_1} } + {\left( { - x + {A_2}} \right)\cos x } + {\left( {\ln \left| {\cos x} \right| + {A_3}} \right)\sin x } = {{A_1} + {A_2}\cos x + {A_3}\sin x + \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} } + {\frac{\pi }{4}} \right)} \right| - x\cos x } + {\sin x\ln \left| {\cos x} \right|.} \]