Неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с переменными коэффициентами

Для полноты картины необходимо рассмотреть также неоднородные уравнения с переменными коэффициентами. Уравнения этого типа записываются в виде \[{y^{\left( n \right)}} + {a_1}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots + {a_{n - 1}}\left( x \right)y' + {a_n}\left( x \right)y = f\left( x \right),\] где коэффициенты \({a_1}\left( x \right), \ldots ,{a_n}\left( x \right)\) и правая часть \(f\left( x \right)\) являются непрерывными функциями на некотором отрезке \(\left[ {a,b} \right].\)

С помощью линейного дифференциального оператора \(L\) данное уравнение можно записать в компактной форме: \[Ly\left( x \right) = f\left( x \right),\] где \(L\) включает в себя операции дифференцирования, умножения на коэффициенты \({a_i}\left( x \right)\) и сложения.

Как известно, общее решение \(y\left( x \right)\) неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения \({y_0}\left( x \right)\) соответствующего однородного уравнения и частного решения \({y_1}\left( x \right)\) неоднородного уравнения: \[y\left( x \right) = {y_0}\left( x \right) + {y_1}\left( x \right).\] Методы нахождения общего решения однородного уравнения рассмотрены здесь. Поэтому далее мы акцентируем внимание на построении решения неоднородного уравнения.

Для этой цели обычно используется метод вариации постоянных или метод Лагранжа. С помощью данного метода можно сразу получить общее решение неоднородного уравнения, если известно общее решение однородного уравнения. Пусть требуется решить неоднородное уравнение \(n\)-го порядка: \[{y^{\left( n \right)}} + {a_1}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots + {a_{n - 1}}\left( x \right)y' + {a_n}\left( x \right)y = f\left( x \right).\] Предположим, что общее решение однородного уравнения найдено и выражается формулой \[{y_0}\left( x \right) = {C_1}{Y_1}\left( x \right) + {C_2}{Y_2}\left( x \right) + \cdots + {C_n}{Y_n}\left( x \right),\] содержащей \(n\) произвольных постоянных \({C_1},{C_2}, \ldots ,{C_n}.\)

Идея данного метода состоит в том, что постоянные \({C_1},{C_2}, \ldots ,{C_n}\) заменяются на непрерывно дифференцируемые функции \({C_1}\left( x \right),{C_2}\left( x \right), \ldots ,{C_n}\left( x \right),\) которые подбираются таким образом, чтобы решение \[ {y\left( x \right) = {C_1}\left( x \right){Y_1}\left( x \right) + {C_2}\left( x \right){Y_2}\left( x \right) + \cdots } + {{C_n}\left( x \right){Y_n}\left( x \right) } = {\sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}\left( x \right){Y_i}\left( x \right)} } \] удовлетворяло неоднородному дифференциальному уравнению.

Первые производные функций \({{C_i}\left( x \right)}\) определяются из системы \(n\) уравнений, имеющей вид \[\left\{ \begin{array}{l} {C'_1}\left( x \right){Y_1}\left( x \right) + {C'_2}\left( x \right){Y_2}\left( x \right) + \cdots + {C'_n}\left( x \right){Y_n}\left( x \right) = 0\\ {C'_1}\left( x \right){Y'_1}\left( x \right) + {C'_2}\left( x \right){Y'_2}\left( x \right) + \cdots + {C'_n}\left( x \right){Y'_n}\left( x \right) = 0\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {C'_1}\left( x \right)Y_1^{\left( {n - 1} \right)}\left( x \right) + {C'_2}\left( x \right)Y_2^{\left( {n - 1} \right)}\left( x \right) + \cdots + {C'_n}\left( x \right)Y_n^{\left( {n - 1} \right)}\left( x \right) = f\left( x \right) \end{array} \right..\] Заметим, что главный определитель этой системы представляет собой вронскиан \(W\left( x \right),\) построенный на основе фундаментальной системы решений \({Y_1},{Y_2}, \ldots ,{Y_n}.\) Поскольку решения \({Y_1},{Y_2}, \ldots ,{Y_n}\) линейно независимые, то вронскиан не равен нулю.

Неизвестные производные \({C'_i}\left( x \right)\) вычисляются по формулам Крамера: \[{C'_i}\left( x \right) = \frac{{{W_i}\left( x \right)}}{{W\left( x \right)}},\;\;i = 1,2, \ldots ,n,\] где определитель \({{W_i}\left( x \right)}\) получается из определителя Вронского \(W\left( x \right)\) заменой \(i\)-го столбца на столбец правой части \(\left[ {0,0, \ldots ,f\left( x \right)} \right].\)

Далее выражения для \({C_i}\left( x \right)\) находятся путем интегрирования: \[ {{C_i}\left( x \right) = \int {\frac{{{W_i}\left( x \right)}}{{W\left( x \right)}}dx} + {A_i},}\;\; {i = 1,2, \ldots ,n.} \] Здесь через \({A_i}\) обозначены постоянные интегрирования.

В результате общее решение неоднородного уравнения записывается в виде \[ {y\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}\left( x \right){Y_i}\left( x \right)} } = {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\int {\frac{{{W_i}\left( x \right)}}{{W\left( x \right)}}dx} + {A_i}} \right){Y_i}\left( x \right)} } = {\sum\limits_{i = 1}^n {{A_i}{Y_i}\left( x \right)} } + {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\int {\frac{{{W_i}\left( x \right)}}{{W\left( x \right)}}dx} } \right){Y_i}\left( x \right)} } = {{y_0}\left( x \right) + {y_1}\left( x \right).} \] В последнем выражении первая сумма соответствует общему решению \({y_0}\left( x \right)\) однородного уравнения (с произвольными числами \({A_i}\)), а вторая сумма описывает частное решение \({y_1}\left( x \right)\) неоднородного уравнения.

   Пример

Найти общее решение дифференциального уравнения \[\left( {{x^2} - 2} \right)y''' - 2xy'' - \left( {{x^2} - 2} \right)y' + 2xy = 2x - \frac{4}{y}.\] Сначала найдем общее решение однородного уравнения \[\left( {{x^2} - 2} \right)y''' - 2xy'' - \left( {{x^2} - 2} \right)y' + 2xy = 0.\] Воспользуемся симметрией данного уравнения и введем новую переменную \[v = y'' - y.\] Тогда уравнение принимает вид: \[\left( {{x^2} - 2} \right)v' - 2xv = 0.\] Полученное уравнение легко решается методом разделения переменных: \[ {\left( {{x^2} - 2} \right)\frac{{dv}}{{dx}} = 2xv,}\;\; {\Rightarrow \frac{{dv}}{v} = \frac{{2xdx}}{{{x^2} - 2}},}\;\; {\Rightarrow \int {\frac{{dv}}{v}} = \int {\frac{{2xdx}}{{{x^2} - 2}}} ,}\;\; {\Rightarrow \int {\frac{{dv}}{v}} = \int {\frac{{d\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{{x^2} - 2}}} ,}\;\; {\Rightarrow \ln \left| v \right| = \ln \left| {{x^2} - 2} \right| + \ln {B_1}\;\left( {{B_1} > 0} \right),}\;\; {\Rightarrow \ln \left| v \right| = \ln \left( {{B_1}\left| {{x^2} - 2} \right|} \right),}\;\; {\Rightarrow \left| v \right| = {B_1}\left| {{x^2} - 2} \right|,}\;\; {\Rightarrow v = {B_2}\left( {{x^2} - 2} \right),} \] где \({B_2}\) − произвольное число.

Найдем теперь функцию \(y\left( x \right):\) \[y'' - y = v,\;\; \Rightarrow y'' - y = {B_2}\left( {{x^2} - 2} \right).\] Мы получили неоднородное уравнение \(2\)-го порядка. Решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: \[ {y'' - y = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2} - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _{1,2}} = \pm 1,}\;\; {\Rightarrow {y_0}\left( x \right) = {C_1}{e^x} + {C_2}{e^{ - x}}.} \] Учитывая, что правая часть \({B_2}\left( {{x^2} - 2} \right)\) является квадратичным многочленом, будем искать частное решение в виде \[{y_1} = D{x^2} + Ex + F.\] Подставляем эту функцию и ее производные \[{y'_1} = 2Dx + E,\;\;{y''_1} = 2D\] в наше неоднородное уравнение и находим коэффициенты \(D, E, F:\) \[ {2D - \left( {D{x^2} + Ex + F} \right) = {B_2}{x^2} - 2{B_2},}\;\; {\Rightarrow 2D - D{x^2} - Ex - F = {B_2}{x^2} - 2{B_2}.} \] Следовательно, \[ {\left\{ \begin{array}{l} - D = {B_2}\\ - E = 0\\ 2D - F = - 2{B_2} \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} D = - {B_2}\\ E = 0\\ F = 0 \end{array} \right..} \] Итак, частное решение \({y_1}\) выражается формулой \[{y_1} = - {B_2}{x^2}.\] Заменяя произвольное число \( - {B_2}\) на \({C_3},\) окончательно получаем общее решение однородного уравнения: \[{y_0}\left( x \right) = {C_1}{e^x} + {C_2}{e^{ - x}} + {C_3}{x^2}.\] Здесь функции \({Y_1} = {e^x},{Y_2} = {e^{ - x}},{Y_3} = {x^2}\) образуют фундаментальную систему решений.

Теперь найдем решение неоднородного уравнения, используя метод вариации постоянных. Общее решение уравнения представляется в виде \[y\left( x \right) = {C_1}\left( x \right){e^x} + {C_2}\left( x \right){e^{ - x}} + {C_3}\left( x \right){x^2},\] где производные неизвестных функций \({C_1}\left( x \right),\) \({C_2}\left( x \right),\) \({C_3}\left( x \right)\) удовлетворяют системе уравнений \[\left\{ \begin{array}{l} {C'_1}{e^x} + {C'_2}{e^{ - x}} + {C'_3}{x^2} = 0\\ {C'_1}{e^x} - {C'_2}{e^{ - x}} + 2{C'_3}x = 0\\ {C'_1}{e^x} + {C'_2}{e^{ - x}} + 2{C'_3} = 2x - \frac{4}{x} \end{array} \right..\] Вычислим определители этой системы: \[\require{cancel} {W = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^x}}&{{e^{ - x}}}&{{x^2}}\\ {{e^x}}&{ - {e^{ - x}}}&{2x}\\ {{e^x}}&{{e^{ - x}}}&2 \end{array}} \right| } = {{e^x}{e^{ - x}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{{x^2}}\\ 1&{ - 1}&{2x}\\ 1&1&2 \end{array}} \right| } = {1 \cdot \left[ {1\left( { - 2 - 2x} \right) - 1\left( {2 - {x^2}} \right) + 1\left( {2x + {x^2}} \right)} \right] } = { - 2 - \cancel{2x} - 2 + {x^2} + \cancel{2x} + {x^2} } = {2{x^2} - 4;} \] \[ {{W_1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{e^{ - x}}}&{{x^2}}\\ 0&{ - {e^{ - x}}}&{2x}\\ {2x - \frac{4}{x}}&{{e^{ - x}}}&2 \end{array}} \right| } = {\left( {2x - \frac{x}{4}} \right)\left( {2x{e^{ - x}} + {x^2}{e^{ - x}}} \right) } = {\left( {2{x^2} - 4} \right)\left( {x + 2} \right){e^{ - x}},} \] \[ {{W_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^x}}&0&{{x^2}}\\ {{e^x}}&0&{2x}\\ {{e^x}}&{2x - \frac{4}{x}}&2 \end{array}} \right| } = { - \left( {2x - \frac{x}{4}} \right)\left( {2x{e^x} - {x^2}{e^x}} \right) } = {\left( {2{x^2} - 4} \right)\left( {x - 2} \right){e^x},} \] \[ {{W_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^x}}&{{e^{ - x}}}&0\\ {{e^x}}&{ - {e^{ - x}}}&0\\ {{e^x}}&{{e^{ - x}}}&{2x - \frac{4}{x}} \end{array}} \right| } = {{e^{ - x}}{e^x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0\\ 1&{ - 1}&0\\ 1&1&{2x - \frac{4}{x}} \end{array}} \right| } = {\left( {2x - \frac{x}{4}} \right)\left( { - 1 - 1} \right) } = { - \frac{2}{x}\left( {2{x^2} - 4} \right).} \] Тогда производные \({C'_1},\) \({C'_2},\) \({C'_3}\) равны: \[ {{C'_1} = \frac{{{W_1}}}{W} } = {\frac{{\cancel{\left( {2{x^2} - 4} \right)}\left( {x + 2} \right){e^{ - x}}}}{\cancel{2{x^2} - 4}} } = {\left( {x + 2} \right){e^{ - x}},} \] \[ {{C'_2} = \frac{{{W_2}}}{W} } = {\frac{{\cancel{\left( {2{x^2} - 4} \right)}\left( {x - 2} \right){e^{x}}}}{\cancel{2{x^2} - 4}} } = {\left( {x - 2} \right){e^{x}},} \] \[ {{C_3} = \frac{{{W_3}}}{W} } = {\frac{{ - \frac{2}{x}\cancel{\left( {2{x^2} - 4} \right)}}}{\cancel{2{x^2} - 4}} } = { - \frac{2}{x}.} \] Интегрируя, находим функции \({C_1}\left( x \right),{C_2}\left( x \right),{C_3}\left( x \right):\) \[ {{C_1}\left( x \right) = \int {\left( {x + 2} \right){e^{ - x}}dx} } = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x + 2}\\ {v' = {e^{ - x}}}\\ {u' = 1}\\ {v = - {e^{ - x}}} \end{array}} \right] } = { - \left( {x + 2} \right){e^{ - x}} - \int {\left( { - {e^{ - x}}} \right)dx} } = { - \left( {x + 2} \right){e^{ - x}} + \int {{e^{ - x}}dx} } = { - \left( {x + 2} \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}} + {A_1} } = { - \left( {x + 3} \right){e^{ - x}} + {A_1},} \] \[ {{C_2}\left( x \right) = \int {\left( {x - 2} \right){e^x}dx} } = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x - 2}\\ {v' = {e^x}}\\ {u' = 1}\\ {v = {e^x}} \end{array}} \right] } = {\left( {x - 2} \right){e^x} - \int {{e^x}dx} } = {\left( {x - 2} \right){e^x} - {e^x} + {A_2} } = {\left( {x - 3} \right){e^x} + {A_2},} \] \[ {{C_3}\left( x \right) = \int {\left( { - \frac{2}{x}} \right)dx} } = { - 2\int {\frac{{dx}}{x}} } = { - 2\ln \left| x \right| + {A_3}.} \] Теперь можно записать общее решение неоднородного уравнения: \[ {y\left( x \right) = {C_1}\left( x \right){Y_1}\left( x \right) + {C_2}\left( x \right){Y_2}\left( x \right) + {C_3}\left( x \right){Y_3}\left( x \right) } = {\left[ { - \left( {x + 3} \right){e^{ - x}} + {A_1}} \right]{e^x} } + {\left[ {\left( {x - 3} \right){e^x} + {A_2}} \right]{e^{ - x}} } + {\left[ { - 2\ln \left| x \right| + {A_3}} \right]{x^2} } = {{A_1}{e^x} + {A_2}{e^{ - x}} + {A_3}{x^2} } - {\left( {x + 3} \right) + x - 3 - 2{x^2}\ln \left| x \right| } = {{A_1}{e^x} + {A_2}{e^{ - x}} + {A_3}{x^2} - 2{x^2}\ln \left| x \right| - 6.} \]