Для полноты картины необходимо рассмотреть также
неоднородные уравнения с переменными коэффициентами. Уравнения этого типа записываются в виде
\[{y^{\left( n \right)}} + {a_1}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots + {a_{n - 1}}\left( x \right)y' + {a_n}\left( x \right)y = f\left( x \right),\]
где коэффициенты \({a_1}\left( x \right), \ldots ,{a_n}\left( x \right)\) и правая часть \(f\left( x \right)\)
являются непрерывными функциями на некотором отрезке \(\left[ {a,b} \right].\)
С помощью
линейного дифференциального оператора \(L\)
данное уравнение можно записать в компактной форме:
\[Ly\left( x \right) = f\left( x \right),\]
где \(L\) включает в себя операции дифференцирования, умножения на коэффициенты \({a_i}\left( x \right)\) и сложения.
Как известно, общее решение \(y\left( x \right)\) неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму
общего решения \({y_0}\left( x \right)\) соответствующего однородного уравнения и частного решения \({y_1}\left( x \right)\)
неоднородного уравнения:
\[y\left( x \right) = {y_0}\left( x \right) + {y_1}\left( x \right).\]
Методы нахождения
общего решения однородного уравнения рассмотрены
здесь.
Поэтому далее мы акцентируем внимание на построении решения
неоднородного уравнения.
Для этой цели обычно используется
метод вариации постоянных или
метод Лагранжа.
С помощью данного метода можно сразу получить
общее решение неоднородного уравнения, если известно
общее решение однородного уравнения.
Метод вариации постоянных
Пусть требуется решить неоднородное уравнение \(n\)-го порядка:
\[{y^{\left( n \right)}} + {a_1}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots + {a_{n - 1}}\left( x \right)y' + {a_n}\left( x \right)y = f\left( x \right).\]
Предположим, что общее решение однородного уравнения найдено и выражается формулой
\[{y_0}\left( x \right) = {C_1}{Y_1}\left( x \right) + {C_2}{Y_2}\left( x \right) + \cdots + {C_n}{Y_n}\left( x \right),\]
содержащей \(n\) произвольных постоянных \({C_1},{C_2}, \ldots ,{C_n}.\)
Идея данного метода состоит в том, что постоянные \({C_1},{C_2}, \ldots ,{C_n}\) заменяются на непрерывно дифференцируемые
функции \({C_1}\left( x \right),{C_2}\left( x \right), \ldots ,{C_n}\left( x \right),\)
которые подбираются таким образом, чтобы решение
\[
{y\left( x \right) = {C_1}\left( x \right){Y_1}\left( x \right) + {C_2}\left( x \right){Y_2}\left( x \right) + \cdots }
+ {{C_n}\left( x \right){Y_n}\left( x \right) }
= {\sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}\left( x \right){Y_i}\left( x \right)} }
\]
удовлетворяло неоднородному дифференциальному уравнению.
Первые производные функций \({{C_i}\left( x \right)}\) определяются из системы \(n\) уравнений, имеющей вид
\[\left\{ \begin{array}{l}
{C'_1}\left( x \right){Y_1}\left( x \right) + {C'_2}\left( x \right){Y_2}\left( x \right) + \cdots + {C'_n}\left( x \right){Y_n}\left( x \right) = 0\\
{C'_1}\left( x \right){Y'_1}\left( x \right) + {C'_2}\left( x \right){Y'_2}\left( x \right) + \cdots + {C'_n}\left( x \right){Y'_n}\left( x \right) = 0\\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
{C'_1}\left( x \right)Y_1^{\left( {n - 1} \right)}\left( x \right) + {C'_2}\left( x \right)Y_2^{\left( {n - 1} \right)}\left( x \right) + \cdots + {C'_n}\left( x \right)Y_n^{\left( {n - 1} \right)}\left( x \right) = f\left( x \right)
\end{array} \right..\]
Заметим, что главный определитель этой системы представляет собой
вронскиан \(W\left( x \right),\)
построенный на основе
фундаментальной системы решений \({Y_1},{Y_2}, \ldots ,{Y_n}.\)
Поскольку решения \({Y_1},{Y_2}, \ldots ,{Y_n}\) линейно независимые, то вронскиан не равен нулю.
Неизвестные производные \({C'_i}\left( x \right)\) вычисляются по
формулам Крамера:
\[{C'_i}\left( x \right) = \frac{{{W_i}\left( x \right)}}{{W\left( x \right)}},\;\;i = 1,2, \ldots ,n,\]
где определитель \({{W_i}\left( x \right)}\) получается из определителя Вронского \(W\left( x \right)\)
заменой \(i\)-го столбца на столбец правой части \(\left[ {0,0, \ldots ,f\left( x \right)} \right].\)
Далее выражения для \({C_i}\left( x \right)\) находятся путем интегрирования:
\[
{{C_i}\left( x \right) = \int {\frac{{{W_i}\left( x \right)}}{{W\left( x \right)}}dx} + {A_i},}\;\;
{i = 1,2, \ldots ,n.}
\]
Здесь через \({A_i}\) обозначены постоянные интегрирования.
В результате общее решение неоднородного уравнения записывается в виде
\[
{y\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}\left( x \right){Y_i}\left( x \right)} }
= {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\int {\frac{{{W_i}\left( x \right)}}{{W\left( x \right)}}dx} + {A_i}} \right){Y_i}\left( x \right)} }
= {\sum\limits_{i = 1}^n {{A_i}{Y_i}\left( x \right)} }
+ {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\int {\frac{{{W_i}\left( x \right)}}{{W\left( x \right)}}dx} } \right){Y_i}\left( x \right)} }
= {{y_0}\left( x \right) + {y_1}\left( x \right).}
\]
В последнем выражении первая сумма соответствует общему решению \({y_0}\left( x \right)\) однородного уравнения (с произвольными числами \({A_i}\)), а вторая сумма
описывает частное решение \({y_1}\left( x \right)\) неоднородного уравнения.