Логарифм по основанию \(e\) (\(e\) - трансцендентное число, приближенно равное \(2.718281828\ldots\)) называется
натуральным логарифмом. Натуральный логарифм числа
x обозначается \(\ln x\).
Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.
Соотношение между логарифмом по основанию a и натуральным логарифмом
Пусть число \(a\) является основанием логарифма (\(a > 0\), \(a \ne 1\)), и пусть задана логарифмическая функция
\[y = {\log _a}x.\]
Отсюда следует, что
\[{a^y} = x.\]
Взяв натуральный логарифм от левой и правой части, получаем
\[\ln {a^y} = \ln x,\;\;
{\Rightarrow y\ln a = \ln x,}\;\;
{\Rightarrow y = \frac{1}{{\ln a}}\ln x,}\;\;
{\Rightarrow {\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}.}
\]
Последняя формула выражает произвольный логарифм числа \(x\) по основанию \(a\) через натуральный логарифм этого числа.
Полагая \(x = e\), можно записать
\[{\log _a}e = \frac{1}{{\ln a}}\ln e = \frac{1}{{\ln a}}.\]
Если \(a = 10\), то получаем десятичный логарифм:
\[{\log _{10}}x = \lg x = M\,{\ln x} ,\;\;
{\text{где}\;\;M = \frac{1}{{\ln a}} = \lg e \approx 0.43429 \ldots }
\]
Обратное соотношение имеет вид:
\[\ln x = \frac{1}{M}\lg x,\;\;
{\text{где}\;\;\frac{1}{M} = \ln 10 \approx 2.30258 \ldots }
\]
Графики функций \(y = \ln x\) и \(y = \lg x\) показаны на рисунке 1.