|
|
|
Монотонность функций
|
|
Определение возрастающей и убывающей функции
Пусть \(y = f\left( x \right)\) является дифференцируемой функцией на интервале \(\left( {a,b} \right).\)
Функция называется возрастающей (или неубывающей) на данном интервале,
если для любых точек \({x_1},{x_2} \in \left( {a,b} \right),\) таких, что \({x_1} < {x_2},\) выполняется неравенство
\(f\left( {{x_1}} \right) \le f\left( {{x_2}} \right).\)
Если данное неравенство является строгим, т.е. \(f\left( {{x_1}} \right) \lt f\left( {{x_2}} \right),\)
то говорят, что функция \(y = f\left( x \right)\) является строго возрастающей
на интервале \(\left( {a,b} \right).\)
Аналогично определяются убывающая (или невозрастающая)
и строго убывающая функции.
Введенные понятия можно сформулировать в более компактной форме. Функция \(y = f\left( x \right)\) называется
- возрастающей (неубывающей) на интервале
\(\left( {a,b} \right),\) если
\[
{\forall\;{x_1},{x_2} \in \left( {a,b} \right):\;}
{{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \le f\left( {{x_2}} \right);}
\]
- строго возрастающей на интервале \(\left( {a,b} \right),\) если
\[
{\forall\;{x_1},{x_2} \in \left( {a,b} \right):\;}
{{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \lt f\left( {{x_2}} \right);}
\]
- убывающей (невозрастающей) на интервале
\(\left( {a,b} \right),\) если
\[
{\forall\;{x_1},{x_2} \in \left( {a,b} \right):\;}
{{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \ge f\left( {{x_2}} \right);}
\]
- строго убывающей на интервале \(\left( {a,b} \right),\) если
\[
{\forall\;{x_1},{x_2} \in \left( {a,b} \right):\;}
{{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \gt f\left( {{x_2}} \right).}
\]
Ясно, что неубывающая функция может содержать участки строгого возрастания и интервалы, где функция является постоянной. Схематически это иллюстрируется на рисунках \(1-4\).
Если функция \(f\left( x \right)\) дифференцируема на интервале \(\left( {a,b} \right)\) и принадлежит к одному из четырех
рассмотренных типов (т.е. является возрастающей, строго возрастающей, убывающей или строго убывающей), то такая функция называется
монотонной на данном интервале.
Понятия возрастания и убывания функции можно определить также и для отдельной точки \({x_0}.\) В этом случае рассматривается малая
\(\delta\)-окрестность \(\left( {{x_0} - \delta ,{x_0} + \delta } \right)\) этой точки.
Функция \(y = f\left( x \right)\) является строго возрастающей
в точке \({x_0},\) если существует число \(\delta > 0,\) такое, что
\[\forall\;x \in \left( {{x_0} - \delta ,{x_0}} \right) \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right);\]
\[\forall\;x \in \left( {{x_0}, {x_0} + \delta} \right) \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right).\]
Аналогичным образом определяется строгое убывание функции \(y = f\left( x \right)\) в точке \({x_0}.\)
Критерий возрастания и убывания функции
Снова рассмотрим функцию \(y = f\left( x \right),\) считая ее дифференцируемой на некотором интервале \(\left( {a,b} \right).\)
Возрастание или убывание функции на интервале определяется по знаку первой производной функции.
Теорема 1.
Для того, чтобы функция \(y = f\left( x \right)\) была возрастающей на
интервале \(\left( {a,b} \right),\) необходимо и достаточно, чтобы первая производная функции была неотрицательной всюду на
данном интервале:
\[f'\left( x \right) \ge 0\;\forall\;x \in \left( {a,b} \right).\]
Аналогичный критерий действует для случая функции, убывающей на интервале
\(\left( {a,b} \right):\)
\[f'\left( x \right) \le 0\;\forall\;x \in \left( {a,b} \right).\]
Докажем обе части теоремы (необходимость и достаточность) для случая возрастающей функции.
Необходимое условие.
Рассмотрим произвольную точку \({x_0} \in \left( {a,b} \right).\)
Если функция \(y = f\left( x \right)\) возрастает на \(\left( {a,b} \right),\) то по определению можно записать, что
\[\forall\;x \in \left( {a,b} \right):x > {x_0} \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right);\]
\[\forall\;x \in \left( {a,b} \right):x < {x_0} \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right).\]
Видно, что в обоих случаях выполняется неравенство
\[
{\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} \ge 0,}\;\;
{\text{где}\;\;x \ne {x_0}.}
\]
В пределе при \(x \to {x_0}\) левая часть неравенства равна производной функции в точке \({x_0},\) т.е. по свойству сохранения знака предела:
\[
{\lim\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} }
= {f'\left( {{x_0}} \right) \ge 0.}
\]
Это соотношение справедливо для любых \({x_0} \in \left( {a,b} \right).\)
Рассмотрим достаточное условие, т.е. обратное утверждение.
Пусть производная \(f'\left( x \right)\) функции \(y = f\left( x \right)\) неотрицательна на
интервале \(\left( {a,b} \right):\)
\[f'\left( {{x_0}} \right) \ge 0\;\forall\; x \in \left( {a,b} \right).\]
Если \({x_1}\) и \({x_2}\) − две произвольные точки данного интервала, такие, что \({x_1}< {x_2},\)
то по теореме Лагранжа
можно записать:
\[f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = f'\left( c \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right),\]
где \(c \in \left[ {{x_1},{x_2}} \right],\;\; \Rightarrow c \in \left( {a,b} \right).\)
Поскольку \(f'\left( c \right) \ge 0,\) то правая часть равенства неотрицательна. Следовательно,
\[f\left( {{x_2}} \right) \ge f\left( {{x_1}} \right).\]
т.е. функция \(y = f\left( x \right)\) является возрастающей на интервале \(\left( {a,b} \right).\)
Рассмотрим теперь случаи строгого возрастания и строгого убывания
функции. Здесь существует похожая теорема, описывающая необходимые и достаточные условия. Опуская доказательство, сформулируем ее для случая
строго возрастающей функции.
Теорема 2.
Для того, чтобы дифференцируемая на интервале \(\left( {a,b} \right)\) функция была
строго возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
\(f'\left( x \right) \ge 0\;\forall\;x \in \left( {a,b} \right);\)
Производная \(f'\left( x \right)\) тождественно не равна нулю ни в каком промежутке
\(\left[ {{x_1},{x_2}} \right] \in \left( {a,b} \right).\)
Условие \(1\) содержится в теореме \(1\) и является признаком неубывающей функции. Дополнительное условие \(2\) требуется для того, чтобы исключить участки
постоянства функции, в которых производная функции \(f\left( x \right)\) тождественно равна нулю.
На практике (при нахождении интервалов монотонности) обычно используется достаточное условие строгого возрастания
или строгого убывания функции. Из теоремы \(2\) следует такая формулировка достаточного признака:
Если для всех \(x \in \left( {a,b} \right)\) выполняется условие \(f'\left( x \right) > 0\)
всюду в интервале \(\left( {a,b} \right),\) кроме возможно лишь некоторых отдельных точек, в которых
\(f'\left( x \right) = 0,\) то функция \(f\left( x \right)\) является строго возрастающей.
Соответственно, условие \(f'\left( x \right) < 0\) определяет строго убывающую функцию.
Число точек, в которых \(f'\left( x \right) = 0,\) является, как правило, конечным.
Согласно теореме \(2\), они не могут плотно заполнять какой-либо промежуток в интервале \(\left( {a,b} \right).\)
Приведем также признак строгого возрастания (убывания) функции в точке:
Теорема 3.
Пусть \({x_0} \in \left( {a,b} \right).\)
Если \(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\), то функция \(f\left( x \right)\) строго возрастает в точке \({x_0}\);
Если \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\), то функция \(f\left( x \right)\) строго убывает в точке \({x_0}\).
Свойства монотонных функций
Возрастающие и убывающие функции обладают определенными алгебраическими свойствами, которые могут оказаться полезными при исследовании
функций. Перечислим некоторые из них:
Если функции \(f\) и \(g\) возрастают (убывают) на интервале \(\left( {a,b} \right),\)
то сумма функций \(f + g\) также возрастает (убывает)
на этом интервале.
Если функция \(f\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( {a,b} \right),\)
то противоположная функция \(-f\) убывает (возрастает)
на этом интервале.
Если функция \(f\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( {a,b} \right),\)
то обратная функция \(\large\frac{1}{f}\normalsize\) убывает (возрастает)
на этом интервале.
Если функции \(f\) и \(g\) возрастают (убывают) на интервале \(\left( {a,b} \right)\) и, кроме того,
\(f \ge 0\), \(g \ge 0\), то произведение функций \(fg\)
также возрастает (убывает) на этом интервале.
Если функция \(g\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( {a,b} \right),\)
а функция \(f\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( {c,d} \right),\) где
\(g:\left( {a,b} \right) \to \left( {c,d} \right),\) то композиция функций
\(f \circ g\) (т.е. сложная функция
\(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) также возрастает (убывает) на интервале \(\left( {a,b} \right).\)
|
Пример 1
|
|
Используя определение монотонности, доказать, что функция \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\)
строго возрастает при \(x \ge 0.\)
Решение.
Возьмем две произвольные точки \({x_1}\) и \({x_2},\) такие что
\[0 \le {x_1} \lt {x_2}.\]
Рассмотрим разность значений функции в этих точках:
\[
{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) }
= {\left( {x_2^2 + 1} \right) - \left( {x_1^2 + 1} \right) }
= {x_2^2 - x_1^2 }
= {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right).}
\]
В последнем выражении, очевидно, что \({{x_2} - {x_1}} > 0\) и \({{x_2} + {x_1}} > 0\)
(поскольку по условию рассматриваются неотрицательные значения \(x\)). В результате получаем:
\[
{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right) > 0,}\;\;
{\Rightarrow f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) > 0.}
\]
Это означает по определению, что функция \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) является строго возрастающей на заданном интервале.
|
Пример 2
|
|
Используя определение монотонности, доказать, что кубическая функция \(f\left( x \right) = {x^3}\)
строго возрастает при всех \(x \in \mathbb{R}.\)
Решение.
Выберем две произвольные точки \({{x_1}}\) и \({{x_2}},\) такие что \({x_1} < {x_2}.\)
Рассмотрим разность:
\[f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = x_2^3 - x_1^3.\]
Раскладывая ее по
формуле разности кубов,
получаем:
\[
{x_2^3 - x_1^3 }
= {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {x_2^2 + {x_1}{x_2} + x_1^2} \right).}
\]
Во второй скобке можно выделить полный квадрат:
\[
{x_2^2 + {x_1}{x_2} + x_1^2 }
= {x_1^2 + 2 \cdot {x_1} \cdot \frac{{{x_2}}}{2} + \frac{{x_2^2}}{4} + \frac{{3x_2^2}}{4} }
= {{\left( {{x_1} + \frac{{{x_2}}}{2}} \right)^2} + \frac{{3x_2^2}}{4} > 0.}
\]
Отсюда видно, что квадратичное выражение всегда положительно (оно равно нулю лишь при
\({x_1} = {x_2} = 0,\) что противоречит условию \({x_1} < {x_2}.\))
Таким образом, \(f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) > 0,\)
если \({x_2} - {x_1} > 0,\) т.е. функция \(f\left( x \right) = {x^3}\) является строго возрастающей.
|
Пример 3
|
|
Используя свойства монотонных функций, доказать, что функция \(f\left( x \right) = {x^4} + 3{x^2}\)
строго возрастает при \(x \ge 0.\)
Решение.
Данная функция является суммой функций \({x^4}\) и \(3{x^2}.\)
Первую функцию \({x^4}\) можно рассматривать как произведение двух одинаковых функций \({x^2}\). Из примера \(1\)
следует, что квадратичная функция \({x^2}\) строго возрастает при \(x \ge 0.\)
Следовательно, функция \({x^4}\) также строго возрастает при \(x \ge 0\) на основании свойства \(4\).
Второе слагаемое \(3{x^2}\) представляет собой трехкратную сумму функций \({x^2}\) и, поэтому, также является
строго возрастающей (на основании свойства \(1\)).
Итак, исходная функция \(f\left( x \right) = {x^4} + 3{x^2}\) является суммой двух строго возрастающих функций и,
следовательно, также строго возрастает при \(x \ge 0.\)
|
Пример 4
|
|
Используя определение монотонности, доказать, что функция \(f\left( x \right) = \cos x\)
является строго убывающей в промежутке \(\left[ {0,\pi } \right].\)
Решение.
Пусть точки \({x_1}\), \({x_2}\) лежат в заданном интервале \(\left[ {0,\pi } \right]\)
и выполняется условие \({x_1} < {x_2}.\) Рассмотрим разность:
\[f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \cos {x_2} - \cos {x_1}.\]
Преобразуем ее по формуле
разности косинусов:
\[
{\cos {x_2} - \cos {x_1} }
= { - 2\sin \frac{{{x_2} + {x_1}}}{2}\sin \frac{{{x_2} - {x_1}}}{2}.}
\]
Поскольку \({x_1},{x_2} \in \left[ {0,\pi } \right],\) то полусумма ограничена двойным неравенством
\[0 < \frac{{{x_2} + {x_1}}}{2} < \pi .\]
Аналогично, полуразность (при условии \({x_2} > {x_1}\)) удовлетворяет неравенству
\[0 < \frac{{{x_2} - {x_1}}}{2} < \frac{\pi }{2}.\]
Для указанных диапазонов углов синус всегда положителен. Поэтому
\[
{\cos {x_2} - \cos {x_1} }
= { - 2\sin \frac{{{x_2} + {x_1}}}{2}\sin \frac{{{x_2} - {x_1}}}{2} < 0.}
\]
Таким образом, выполняется следующее соотношение:
\[{x_2} > {x_1} \Rightarrow f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right),\]
т.е. функция косинус строго убывает на интервале \(\left[ {0,\pi } \right].\)
|
Пример 5
|
|
Найти интервалы монотонности функции \(f\left( x \right) = {x^3} - 12x + 5.\)
Решение.
Производная данной функции имеет вид:
\[
{f'\left( x \right) = {\left( {{x^3} - 12x + 5} \right)^\prime } }
= {3{x^2} - 12 }
= {3\left( {{x^2} - 4} \right).}
\]
Определим промежутки, в которых производная положительна и отрицательна. Решим следующее неравенство:
\[
{f'\left( x \right) > 0,}\;\;
{\Rightarrow 3\left( {{x^2} - 4} \right) > 0,}\;\;
{\Rightarrow {x^2} - 4 > 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) > 0.}
\]
Методом интервалов находим, что
\[
{f'\left( x \right) > 0}\;\;
{\text{при}\;\;x \in \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( {2,\infty } \right),}
\]
\[
{f'\left( x \right) < 0}\;\;
{\text{при}\;\;x \in \left( { - 2,2} \right).}
\]
Следовательно, функция \(f\left( x \right) = {x^3} - 12x + 5\) возрастает (в строгом смысле)
в интервалах \(\left( { - \infty , - 2} \right)\) и \(\left( {2,\infty } \right)\)
и, соответственно, строго убывает в интервале \(\left( { - 2,2} \right).\)
|
Пример 6
|
|
Найти интервалы монотонности функции \(f\left( x \right) = x + \sin x.\)
Решение.
Данная функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Рассмотрим неравенство
\(f'\left( x \right) > 0:\)
\[
{f'\left( x \right) = {\left( {x + \sin x} \right)^\prime } }
={ 1 + \cos x,}
\]
\[
{f'\left( x \right) > 0,}\;\;
{\Rightarrow 1 + \cos x > 0,}\;\;
{\Rightarrow \cos x > - 1.}
\]
Это неравенство выполняется при всех \(x\) кроме тех точек, где \(\cos x = -1,\) то есть
\[
{\cos x \ne - 1,}\;\;
{\Rightarrow x \ne \pi + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.}
\]
Однако, если рассматривать нестрогое неравенство \(f'\left( x \right) \ge 0,\) то получаем:
\[
{f'\left( x \right) \ge 0,}\;\;
{\Rightarrow 1 + \cos x \ge 0,}\;\;
{\Rightarrow \cos x \ge - 1,}\;\;
{\Rightarrow x \in \mathbb{R}.}
\]
Таким образом, функция \(f\left( x \right) = x + \sin x\) возрастает (не в строгом смысле, т.е. не убывает) при любых
\(x \in \mathbb{R}.\)
Для контроля рассмотрим также неравенство \(f'\left( x \right) < 0:\)
\[
{f'\left( x \right) < 0,}\;\;
{\Rightarrow 1 + \cos x < 0,}\;\;
{\Rightarrow \cos x < - 1,}\;\;
{\Rightarrow x \in \emptyset .}
\]
Это неравенство не имеет решений.
|
Пример 7
|
|
Найти интервалы монотонности функции
\[f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 1}}.\]
Решение.
Функция определена и дифференцируема на всем множестве действительных чисел. Вычислим ее производную:
\[
{f'\left( x \right) = {\left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right)^\prime } }
= {\frac{{x'\left( {{x^2} + 1} \right) - x\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} }
= {\frac{{1 \cdot \left( {{x^2} + 1} \right) - x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} }
= {\frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}.}
\]
Определим интервалы знакопостоянства производной. Приравниваем производную нулю и находим корни уравнения:
\[
{f'\left( x \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow \frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 - {x^2} = 0}\\
{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} \ne 0}
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow 1 - {x^2} = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right) = 0.}
\]
Видно, что корни равны \({x_1} = - 1\), \({x_2} = 1.\) Используя метод интервалов,
находим знаки производной в соответствующих интервалах (рисунок \(5\)).
Таким образом, функция убывает (в строгом смысле) в интервалах \(\left( { - \infty , - 1} \right)\) и
\(\left( {1, \infty} \right)\) и возрастает в промежутке \(\left( {-1, 1} \right).\)
Учитывая, что корень функции равен \(x = 0,\) можно схематически нарисовать ее график (рисунок \(6\)).
|
Пример 8
|
|
Найти интервалы монотонности функции
\[f\left( x \right) = \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}\;\;\left( {x \ge 0} \right).\]
Решение.
Данная функция определена и дифференцируема при всех \(x \ge 0,\) кроме точки \(x = 1,\) где она имеет разрыв. Находим производную
\(f'\left( x \right)\) и определяем интервалы знакопостоянства производной:
\[
{f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right)^\prime } }
= {\frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - \sqrt x {{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} }
= {\frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }} \cdot \left( {x - 1} \right) - \sqrt x \cdot 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} }
= {\frac{{x - 1 - 2x}}{{2\sqrt x {{\left( {x - 1} \right)}^2}}} }
= { - \frac{{x + 1}}{{2\sqrt x {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.}
\]
Используя метод интервалов (рисунок \(7\)), устанавливаем, что производная всюду отрицательна, кроме точек
\(x = 0\) и \(x = 1,\) где она не существует. Таким образом, функция строго убывает в интервалах
\(\left( {0,1} \right)\) и \(\left( {1,\infty} \right).\) Ее схематический вид показан на рисунке \(8\).
|
Пример 9
|
|
Найти интервалы монотонности функции \(f\left( x \right) = x\ln x.\)
Решение.
Функция определена и дифференцируема при \(x > 0.\) Ее производная равна
\[
{f'\left( x \right) = {\left( {x\ln x} \right)^\prime } }
= {x'\ln x + x{\left( {\ln x} \right)^\prime } }
= {1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} }
= {\ln x + 1.}
\]
Приравниваем производную нулю и находим интервалы ее знакопостоянства:
\[
{f'\left( x \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow \ln x + 1 = 0,}\;\;
{\Rightarrow \ln x = - 1,}\;\;
{\Rightarrow \ln x = - \ln e,}\;\;
{\Rightarrow \ln x = \ln \frac{1}{e},}\;\;
{\Rightarrow x = \frac{1}{e}.}
\]
Решением строгого неравенства \(f'\left( x \right) > 0\) является бесконечный интервал
\(x \in \left( {\large\frac{1}{e}\normalsize,\infty } \right)\) (рисунок 9), а решением неравенства
\(f'\left( x \right) < 0\) − конечный интервал \(x \in \left( {0, \large\frac{1}{e}\normalsize} \right).\)
Следовательно, на основании достаточного признака монотонности, функция строго возрастает при
\(x \in \left( {\large\frac{1}{e}\normalsize,\infty } \right)\) и строго убывает при
\(x \in \left( {0, \large\frac{1}{e}\normalsize} \right).\) Ее вид схематически приведен на рисунке \(10\).
|
Пример 10
|
|
Найти интервалы монотонности функции \(f\left( x \right) = {x^2}{e^{ - x}}.\)
Решение.
Функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Ее производная имеет вид:
\[
{f'\left( x \right) = {\left( {{x^2}{e^{ - x}}} \right)^\prime } }
= {{\left( {{x^2}} \right)^\prime }{e^{ - x}} + {x^2}{\left( {{e^{ - x}}} \right)^\prime } }
= {2x{e^{ - x}} - {x^2}{e^{ - x}} }
= {x{e^{ - x}}\left( {2 - x} \right).}
\]
Знаки производной легко определить методом интервалов (рисунок \(11\)).
Как видно,
\[
{f'\left( x \right) > 0\;\;\text{при}}\;\;
{x \in \left( {0,2} \right);}
\]
\[
{f'\left( x \right) < 0\;\;\text{при}}\;\;
{x \in \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {2,\infty } \right).}
\]
На основании достаточного признака монотонности отсюда следует, что функция строго возрастает в интервале
\(\left( {0,2} \right)\) и, соответственно, строго убывает в интервалах \(\left( {-\infty,0} \right)\) и
\(\left( {2, \infty} \right).\) Ее схематический вид показан на рисунке \(12\).
|
Пример 11
|
|
Найти интервалы монотонности функции \(f\left( x \right) = \sqrt {x - {x^2}}.\)
Решение.
Функция определена на следующем промежутке:
\[
{x - {x^2} \ge 0,}\;\;
{\Rightarrow x\left( {1 - x} \right) \ge 0,}\;\;
{\Rightarrow x \in \left[ {0,1} \right].}
\]
Производная данной функции имеет вид:
\[
{f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {x - {x^2}} } \right)^\prime } }
= {\frac{1}{{2\sqrt {x - {x^2}} }} \cdot {\left( {x - {x^2}} \right)^\prime } }
= {\frac{{1 - 2x}}{{2\sqrt {x - {x^2}} }}.}
\]
Следовательно,
\[
{f'\left( x \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow \frac{{1 - 2x}}{{2\sqrt {x - {x^2}} }} = 0,}\;\;
{\Rightarrow x = \frac{1}{2}.}
\]
Исследуем знак производной (рисунок \(13\)).
На основании достаточного признака монотонности заключаем, что функция возрастает при
\(x \in \left( {0,\large\frac{1}{2}\normalsize} \right)\) и убывает при \(x \in \left( {\large\frac{1}{2}\normalsize,1} \right).\)
График функции представляет собой полуокружность с центром в точке \(\left( {\large\frac{1}{2}\normalsize,0} \right)\)
и радиусом \({\large\frac{1}{2}\normalsize}\) (рисунок \(14\)).
|
Пример 12
|
|
Найти интервалы монотонности функции \(f\left( x \right) = \large\frac{{1 - \sin x}}{{\cos x}}\normalsize.\)
Решение.
Данная функция определена и дифференцируема при всех \(x \in \mathbb{R},\)
кроме тех значений, в которых \(\cos x\) обращается в нуль, т.е. кроме \(x = \large\frac{\pi }{2}\normalsize + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\)
Найдем производную \(f'\left( x \right):\)
\[
{f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{1 - \sin x}}{{\cos x}}} \right)^\prime } }
= {\frac{{{{\left( {1 - \sin x} \right)}^\prime }\cos x - \left( {1 - \sin x} \right){{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}x}} }
= {\frac{{ - {{\cos }^2}x - \left( {1 - \sin x} \right)\left( { - \sin x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} }
= {\frac{{ - {{\cos }^2}x + \sin x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} }
= {\frac{{\sin x - 1}}{{{{\cos }^2}x}}.}
\]
Решим неравенство \(f'\left( x \right) \le 0:\)
\[
{f'\left( x \right) \le 0,}\;\;
{\Rightarrow \frac{{\sin x - 1}}{{{{\cos }^2}x}} \le 0,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x - 1 \le 0}\\
{{{\cos }^2}x \ne 0}
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \le 1}\\
{{{\cos }^2}x \ne 0}
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \in \mathbb{R}}\\
{x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}}
\end{array}} \right..}
\]
Таким образом, заданная функция убывает на всем множестве действительных чисел, исключая точки
\(x = \large\frac{\pi }{2}\normalsize + \pi n,\;n \in \mathbb{Z},\) где она не определена.
|
Пример 13
|
|
Найти все значения параметра \(a\), при которых функция \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + ax\)
строго возрастает на всей области определения.
Решение.
Функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой \(x \in \mathbb{R}.\) Ее производная имеет следующий вид:
\[
{f'\left( x \right) = {\left( {{x^3} - 6{x^2} + ax} \right)^\prime } }
= {3{x^2} - 12x + a.}
\]
Выделим в этом выражении полный квадрат:
\[
{f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + a }
= {3{x^2} - 12x + 12 - 12 + a }
= {3\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + a - 12 }
= {3{\left( {x - 2} \right)^2} + a - 12.}
\]
Функция строго возрастает когда \(f'\left( x \right) \ge 0.\)
Следовательно, условие строгого возрастания при всех \(x \in \mathbb{R}\) записывается как
\[f'\left( x \right) = 3{\left( {x - 2} \right)^2} + a - 12 > 0.\]
Очевидно, что производная принимает минимальное значение при \(x = 2.\)
В этой точке она равна
\[{f'_{\min }} = a - 12.\]
Отсюда находим значения параметра \(a,\) при которых функция строго возрастает:
\[a - 12 > 0\;\;\text{или}\;\;a > 12.\]
|
Пример 14
|
|
Найти все значения параметра \(a\), при которых уравнение \({x^3} - 6{x^2} + 9x + a = 0\)
имеет три различных действительных корня.
Решение.
Кубическая функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Ее производная выражается формулой
\[
{f'\left( x \right) = {\left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + a} \right)^\prime } }
= {3{x^2} - 12x + 9.}
\]
Приравнивая производную нулю, определим промежутки монотонности функции (рисунок \(15\)):
\[
{f'\left( x \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow 3{x^2} - 12x + 9 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {x_1} = 1,\;{x_2} = 3.}
\]
Итак, при переходе (слева направо) через точку \(x = 1\) возрастание функции сменяется ее убыванием,
т.е. \(x = 1\) является точкой максимума функции. Аналогично,
\(x = 3\) является точкой минимума функции. Кубическое уравнение будет иметь три различных действительных корня в случае,
показанном на рисунке \(16\). Максимум функции должен принимать положительное значение, а минимум − отрицательное. Таким образом,
мы приходим к следующему условию:
\[\left\{ \begin{array}{l}
y\left( 1 \right) > 0\\
y\left( 3 \right) < 0
\end{array} \right..\]
Вычислим значения функции \(f\left( x \right)\) в указанных точках:
\[
{y\left( 1 \right) = {1^3} - 6 \cdot {1^2} + 9 \cdot 1 + a }
={ a + 4,}
\]
\[y\left( 3 \right) = {3^3} - 6 \cdot {3^2} + 9 \cdot 3 + a = a.\]
Теперь легко найти интервал значений параметра \(a:\)
\[
{\left\{ \begin{array}{l}
y\left( 1 \right) > 0\\
y\left( 3 \right) < 0
\end{array} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + 4 > 0\\
a < 0
\end{array} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > - 4\\
a < 0
\end{array} \right.,}\;\;
{\Rightarrow a \in \left( { - 4,0} \right).}
\]
|
Пример 15
|
|
Определить число корней кубического уравнения \({x^3} - 12x + a = 0\) в зависимости от параметра \(a.\)
Решение.
Функция в левой части уравнения определена и дифференцируема на все числовой прямой. Производная функции имеет вид:
\[
{f'\left( x \right) = {\left( {{x^3} - 12x + a} \right)^\prime } }
= {3{x^2} - 12.}
\]
Вычислим корни производной:
\[
{f'\left( x \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow 3{x^2} - 12 = 0,}\;\;
{\Rightarrow 3\left( {{x^2} - 4} \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow {x_1} = - 2,\;{x_2} = 2.}
\]
При переходе слева направо через точку \({x_1} = - 2\) производная меняет знак с "\(+\)" на "\(-\)" (рисунок \(17\)).
Поэтому точка \({x_1}\) является точкой максимума. Аналогично устанавливаем, что точка \({x_2} = 2\)
является точкой минимума.
Запишем значения функции в указанных точках:
\[
{{f_{\max }} = f\left( { - 2} \right) }
= {{\left( { - 2} \right)^3} - 12 \cdot \left( { - 2} \right) + a }
= { - 8 + 24 + a }
= {a + 16,}
\]
\[
{{f_{\min }} = f\left( 2 \right) }
= {{2^3} - 12 \cdot 2 + a }
= {8 - 24 + a }
= {a - 16.}
\]
Уравнение имеет один корень, если точки максимума и минимума расположены в одной (верхней или нижней) полуплоскости, как показано на рисунке \(18\). Такая конфигурация
описывается условием \({f_{\max }} \cdot {f_{\min }} > 0.\) Решая это неравенство, получаем:
\[
{{f_{\max }} \cdot {f_{\min }} > 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( {a + 16} \right)\left( {a - 16} \right) > 0,}\;\;
{\Rightarrow {a^2} - {16^2} > 0,}\;\;
{\Rightarrow {a^2} > {16^2},}\;\;
{\Rightarrow \left| a \right| > 16.}
\]
Теперь рассмотрим случай, когда уравнение имеет \(2\) корня. Возможное расположение графика функции для этого случая приведено на рисунке \(19\). Поскольку
один из корней совпадает с точкой максимума или минимума, то соответствующее условие записывается в виде:
\[
{{f_{\max }} \cdot {f_{\min }} = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( {a + 16} \right)\left( {a - 16} \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow a = \pm 16,}\;\;
{\Rightarrow \left| a \right| = 16.}
\]
Наконец, уравнение имеет три различных корня, если точки максимума и минимума расположены в разных полуплоскостях (рис.\(20\)). Следовательно,
здесь мы имеем:
\[
{{f_{\max }} \cdot {f_{\min }} < 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( {a + 16} \right)\left( {a - 16} \right) < 0,}\;\;
{\Rightarrow {a^2} - {16^2} < 0,}\;\;
{\Rightarrow {a^2} < {16^2},}\;\;
{\Rightarrow \left| a \right| < 16.}
\]
Собирая вместе эти результаты, запишем окончательный ответ:
Данное кубическое уравнение имеет один корень при \(\left| a \right| > 16,\)
два корня при \(\left| a \right| = 16\) и три корня при \(\left| a \right| < 16.\)
|
|
|
|