Метод замены переменной

Рассмотрим неопределенный интеграл \(F\left( x \right)\) от некоторой функции \(f\left( x \right).\) Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от \(x\) к новой переменной \(u\) описывается выражением \[ {\int {f\left( x \right)dx} } = {\int {f\left( {g\left( u \right)} \right)g'\left( u \right)du} } = {F\left( u \right) } = {F\left( {{g^{ - 1}}\left( x \right)} \right),} \] где \(x = g\left( u \right)\) − подстановка. Соответственно, обратная функция \(u = {g^{ - 1}}\left( x \right)\) описывает зависимость новой переменной от старой.

Важно иметь ввиду, что дифференциал \(dx\) должен быть заменен на дифференциал новой переменной \(du.\) Для определенного интеграла, кроме этого, необходимо также изменить пределы интегрирования. Смотрите об этом подробнее на странице "Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница".

   Пример 1

Вычислить \(\int {\large\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\normalsize} .\) Сделаем замену \(u = \large\frac{x}{a}\normalsize.\) Тогда \(x = au,\) \(dx = adu.\) Следовательно, интеграл принимает вид \[\require{cancel} {\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} } = {\int {\frac{{adu}}{{\sqrt {{a^2} - {{\left( {au} \right)}^2}} }}} } = {\int {\frac{{adu}}{{\sqrt {{a^2}\left( {1 - {u^2}} \right)} }}} } = {\int {\frac{{\cancel{a}du}}{{\cancel{a}\sqrt {1 - {u^2}} }}} } = {\int {\frac{{du}}{{\sqrt {1 - {u^2}} }}} } = {\arcsin u + C } = {\arcsin \frac{x}{a} + C.} \]

   Пример 2

Вычислить интеграл \(\int {{\large\frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x - 5}}\normalsize} dx}. \) Применяем подстановку \(u = {x^2} + 2x - 5.\) Тогда \(du = 2xdx + 2 = 2\left( {x + 1} \right)dx\) или \(\left( {x + 1} \right)dx = \large\frac{{du}}{2}\normalsize.\) С использованием данной подстановки интеграл легко вычисляется: \[ {\int {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x - 5}}dx} } = {\int {\frac{{\frac{{du}}{2}}}{u}} } = {\frac{1}{2}\int {\frac{{du}}{u}} } = {\frac{1}{2}\ln \left| u \right| + C } = {\frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} + 2x - 5} \right| + C.} \]

   Пример 3

Найти интеграл \(\int {{2^x}{e^x}dx} .\) Перепишем интеграл в виде \[\int {{2^x}{e^x}dx} = \int {{{\left( {2e} \right)}^x}dx} .\] Обозначая \(2e = a\) (это не замена переменной - аргументом по-прежнему остается \(x\)), получаем табличный интеграл \[ {\int {{{\left( {2e} \right)}^x}dx} } = {\int {{a^x}dx} } = {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C } = {\frac{{{{\left( {2e} \right)}^x}}}{{\ln \left( {2e} \right)}} + C } = {\frac{{{2^x}{e^x}}}{{\ln 2 + \ln e}} + C } = {\frac{{{2^x}{e^x}}}{{\ln 2 + 1}} + C.} \]

   Пример 4

Вычислить интеграл \(\int {\cot \left( {3x + 5} \right)dx}.\) Запишем интеграл как \[ {\int {\cot \left( {3x + 5} \right)dx} } = {\int {\frac{{\cos \left( {3x + 5} \right)}}{{\sin\left( {3x + 5} \right)}}dx} .} \] Используя замену \[ {u = \sin\left( {3x + 5} \right),}\;\; {du = 3\cos \left( {3x + 5} \right)dx,}\;\; {\Rightarrow \cos \left( {3x + 5} \right)dx = \frac{{du}}{3},} \] получаем ответ \[ {\int {\cot \left( {3x + 5} \right)dx} } = {\int {\frac{{\cos \left( {3x + 5} \right)}}{{\sin\left( {3x + 5} \right)}}dx} } = {\int {\frac{{\frac{{du}}{3}}}{u}} } = {\frac{1}{3}\int {\frac{{du}}{u}} } = {\frac{1}{3}\ln \left| u \right| + C } = {\frac{1}{3}\ln \left| {\sin\left( {3x + 5} \right)} \right| + C.} \]

   Пример 5

Вычислить интеграл \(\int {{\large\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}x} }}\normalsize} dx}.\) Сделаем следующую подстановку: \[ {u = 1 + {\cos ^2}x,}\;\; {\Rightarrow du = {\left( {1 + {{\cos }^2}x} \right)^\prime }dx } = {2\cos x \cdot \left( { - \sin x} \right)dx } = { - \sin 2xdx.} \] Следовательно, \[ {\int {\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}x} }}dx} } = {\int {\frac{{\left( { - du} \right)}}{{\sqrt u }}} } = { - 2\int {\frac{{du}}{{2\sqrt u }}} } = { - 2\sqrt u + C } = { - 2\sqrt {1 + {{\cos }^2}x} + C.} \]