Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием можно использовать для нахождения производных степенных, рациональных и некоторых иррациональных функций.

Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция \(y = f\left( x \right)\). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей: \[\ln y = \ln f\left( x \right).\] Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что \(y\) - это функция от \(x\). \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {\ln f\left( x \right)} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{y}y'\left( x \right) = {\left( {\ln f\left( x \right)} \right)^\prime }.} \] Отсюда видно, что искомая производная равна \[ {y' = y{\left( {\ln f\left( x \right)} \right)^\prime } } = {f\left( x \right){\left( {\ln f\left( x \right)} \right)^\prime }.} \] Такая производная от логарифма функции называется логарифмической производной.

Данный метод позволяет также эффективно вычислять производные показательно-степенных функций, то есть функций вида \[y = u{\left( x \right)^{v\left( x \right)}},\] где \(u\left( x \right)\) и \(v\left( x \right)\) − дифференцируемые функции от \(x\).

В приведенных ниже примерах вычислить производную функции \(y\left( x \right)\), используя логарифмическое дифференцирование.

   Пример 1

\[y = {x^x},\;x > 0.\] Сначала прологарифмируем левую и правую части уравнения: \[ {\ln y = \ln {x^x},}\;\; {\Rightarrow \ln y = x\ln x.} \] Теперь продифференцируем обе части, имея ввиду, что \(y\) − это функция от \(x\): \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {x\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y' = x'\ln x + x{\left( {\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \ln x + 1,}\;\; {\Rightarrow y' = y\left( {\ln x + 1} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = {x^x}\left( {\ln x + 1} \right),\;\;\text{где}\;\;x > 0.} \]

   Пример 2

\[y = {x^{\ln x}},\;x > 0.\] Применяем логарифмическое дифференцирование: \[ {\ln y = \ln \left( {{x^{\ln x}}} \right),}\;\; {\Rightarrow \ln y = \ln x\ln x = {\ln ^2}x,}\;\; {\Rightarrow {\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {{{\ln }^2}x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = 2\ln x{\left( {\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{{2\ln x}}{x},}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{2y\ln x}}{x},}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{2{x^{\ln x}}\ln x}}{x} = 2{x^{\ln x - 1}}\ln x.} \]

   Пример 3

\[y = {x^{\cos x}},\;x > 0.\] Логарифмируем заданную функцию: \[ {\ln y = \ln \left( {{x^{\cos x}}} \right),}\;\; {\Rightarrow \ln y = \cos x\ln x.} \] Дифференцируя последнее равенство по \(x\), получаем: \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {\cos x\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y' = {\left( {\cos x} \right)^\prime }\ln x + \cos x{\left( {\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \left( { - \sin x} \right) \cdot \ln x + \cos x \cdot \frac{1}{x},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = - \sin x\ln x + \frac{{\cos x}}{x},}\;\; {\Rightarrow y' = y\left( {\frac{{\cos x}}{x} - \sin x\ln x} \right).} \] Подставляем в правой части вместо \(y\) исходную функцию: \[y' = {x^{\cos x}}\left( {\frac{{\cos x}}{x} - \sin x\ln x} \right),\] где \(x > 0\).

   Пример 4

\[y = {x^{2x}}\;\left( {x > 0,\;x \ne 1} \right).\] Логарифмируя обе части, записываем следующее равенство: \[\ln y = \ln {x^{2x}},\;\; \Rightarrow \ln y = 2x\ln x.\] Далее дифференцируем левую и правую части: \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {2x\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y' = {\left( {2x} \right)^\prime } \cdot \ln x + 2x \cdot {\left( {\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = 2 \cdot \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = 2\ln x + 2,}\;\; {\Rightarrow y' = 2y\left( {\ln x + 1} \right)\;\;\text{или}\;\;y' = 2{x^{2x}}\left( {\ln x + 1} \right).} \]

   Пример 5

\[y = {\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^5}\] Прологарифмируем сначала обе части: \[ {\ln y = \ln \left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2}{{\left( {x - 3} \right)}^5}} \right],}\;\; {\Rightarrow \ln y = \ln {\left( {x - 1} \right)^2} + \ln {\left( {x - 3} \right)^5},}\;\; {\Rightarrow \ln y = 2\ln \left( {x - 1} \right) + 5\ln \left( {x - 3} \right).} \] Теперь легко найти логарифмическую производную: \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left[ {2\ln \left( {x - 1} \right) + 5\ln \left( {x - 3} \right)} \right]^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y' = 2 \cdot \frac{1}{{x - 1}} + 5 \cdot \frac{1}{{x - 3}},}\;\; {\Rightarrow y' = y\left( {\frac{2}{{x - 1}} + \frac{5}{{x - 3}}} \right)\;\;\text{или}}\;\; {y' = {\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^5}\left( {\frac{2}{{x - 1}} + \frac{5}{{x - 3}}} \right).} \] В этом примере предполагается, что \(x > 3\).

   Пример 6

\[y\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}{{\left( {x + 3} \right)}^4}}},\;\;x > - 1.\] Возьмем логарифм от обеих частей: \[ {\ln y = \ln \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}{{\left( {x + 3} \right)}^4}}},}\;\; {\Rightarrow \ln y = \ln {\left( {x + 1} \right)^2} - \ln {\left( {x + 2} \right)^3} - \ln {\left( {x + 3} \right)^4},}\;\; {\Rightarrow \ln y = 2\ln \left( {x + 1} \right) - 3\ln \left( {x + 2} \right) - 4\ln \left( {x + 3} \right).} \] Теперь продифференцируем левую и правую части: \[ {\frac{{y'}}{y} = \frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{x + 2}} - \frac{4}{{x + 3}},}\;\; {\Rightarrow y' = y\left( {\frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{x + 2}} - \frac{4}{{x + 3}}} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}{{\left( {x + 3} \right)}^4}}}\left( {\frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{x + 2}} - \frac{4}{{x + 3}}} \right).} \]

   Пример 7

\[y = \sqrt[\large x\normalsize]{x},\;x > 0.\] Прологарифмируем данное равенство: \[ {\ln y = \ln \left( {\sqrt[\large x\normalsize]{x}} \right),}\;\; {\Rightarrow \ln y = \frac{1}{x}\ln x.} \] Дифференцируя обе части по \(x\), находим: \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{x}\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y' = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime }\ln x + \frac{1}{x}{\left( {\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) \cdot \ln x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{1}{{{x^2}}}\left( {1 - \ln x} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{y}{{{x^2}}}\left( {1 - \ln x} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{\sqrt[\large x\normalsize]{x}}}{{{x^2}}}\left( {1 - \ln x} \right)} \] или \[ {y' = {x^{\large\frac{1}{x}\normalsize - 2}}\left( {1 - \ln x} \right),}\;\; {\text{где}\;\;x > 0.} \]

   Пример 8

\[y = {\left( {\ln x} \right)^x},\;x > 1.\] Следуя общей схеме, имеем: \[ {\ln y = \ln \left[ {{{\left( {\ln x} \right)}^x}} \right],}\;\; {\Rightarrow \ln y = x\ln \left( {\ln x} \right).} \] Вычисляем логарифмическую производную: \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left[ {x\ln \left( {\ln x} \right)} \right]^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y' = x' \cdot \ln \left( {\ln x} \right) + x \cdot {\left[ {\ln \left( {\ln x} \right)} \right]^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = 1 \cdot \ln \left( {\ln x} \right) + x \cdot \frac{1}{{\ln x}} \cdot {\left( {\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \ln \left( {\ln x} \right) + x \cdot \frac{1}{{\ln x}} \cdot \frac{1}{x},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \ln \left( {\ln x} \right) + \frac{1}{{\ln x}},}\;\; {\Rightarrow y' = y\left[ {\ln \left( {\ln x} \right) + \frac{1}{{\ln x}}} \right],}\;\; {\Rightarrow y' = {\left( {\ln x} \right)^x}\left[ {\ln \left( {\ln x} \right) + \frac{1}{{\ln x}}} \right].} \]

   Пример 9

\[y = {x^{{x^2}}}\;\left( {x > 0,\;x \ne 1} \right).\] Предварительно логарифмируя обе части, получаем: \[ {\ln y = \ln \left( {{x^{{x^2}}}} \right),}\;\; {\Rightarrow \ln y = {x^2}\ln x.} \] Теперь можно легко вычислить производную: \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {{x^2}\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y' = {\left( {{x^2}} \right)^\prime } \cdot \ln x + {x^2} \cdot {\left( {\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = 2x \cdot \ln x + {x^2} \cdot \frac{1}{x},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = 2x\ln x + x,}\;\; {\Rightarrow y' = yx\left( {2\ln x + 1} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = {x^{{x^2}}}x\left( {2\ln x + 1} \right)}\;\; {\text{или}\;\;y' = {x^{{x^2} + 1}}\left( {2\ln x + 1} \right).} \]

   Пример 10

\[y = {x^{{x^n}}}\;\left( {x > 0,\;x \ne 1} \right).\] Логарифмируем обе части: \[ {\ln y = \ln \left( {{x^{{x^n}}}} \right),}\;\; {\Rightarrow \;\ln y = {x^n}\ln x.} \] Следовательно, \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {{x^n}\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y' = {\left( {{x^n}} \right)^\prime } \cdot \ln x + {x^n} \cdot {\left( {\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = n{x^{n - 1}} \cdot \ln x + {x^n} \cdot \frac{1}{x},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = n{x^{n - 1}}\ln x + {x^{n - 1}},}\;\; {\Rightarrow y' = y{x^{n - 1}}\left( {n\ln x + 1} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = {x^{{x^n}}}{x^{n - 1}}\left( {n\ln x + 1} \right)}\;\; {\text{или}\;\;y' = {x^{{x^n} + n - 1}}\left( {n\ln x + 1} \right).} \]

   Пример 11

\[y = {x^{{2^x}}}\;\left( {x > 0,\;x \ne 1} \right).\] \[ {\ln y = \ln \left( {{x^{{2^x}}}} \right),}\;\; {\Rightarrow \ln y = {2^x}\ln x.} \] Дифференцируем обе части равенства: \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {{2^x}\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y' = {\left( {{2^x}} \right)^\prime } \cdot \ln x + {2^x} \cdot {\left( {\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = {2^x}\ln 2 \cdot \ln x + {2^x} \cdot \frac{1}{x},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = {2^x}\left( {\ln 2\ln x + \frac{1}{x}} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = {x^{{2^x}}}{2^x}\left( {\ln 2\ln x + \frac{1}{x}} \right).} \]

   Пример 12

\[y = {2^{{x^x}}}\;\left( {x > 0,\;x \ne 1} \right).\] Дифференцируя как сложную функцию, находим: \[y' = {\left( {{2^{{x^x}}}} \right)^\prime } = {2^{{x^x}}} \cdot {\left( {{x^x}} \right)^\prime }.\] Производная показательно-степенной функции \({{x^x}}\) вычислена в примере \(1\). Подставляя ее, получаем: \[ {y' = {\left( {{2^{{x^x}}}} \right)^\prime } = {2^{{x^x}}} \cdot {\left( {{x^x}} \right)^\prime } } = {{2^{{x^x}}}{x^x}\left( {\ln x + 1} \right).} \]

   Пример 13

\[y = {x^{\sqrt x }}\;\left( {x > 0,\;x \ne 1} \right).\] \[ {\ln y = \ln \left( {{x^{\sqrt x }}} \right),}\;\; {\Rightarrow \ln y = \sqrt x \ln x.} \] Отсюда находим: \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {\sqrt x \ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y' = {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } \cdot \ln x + \sqrt x \cdot {\left( {\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{1}{{2\sqrt x }} \cdot \ln x + \sqrt x \cdot \frac{1}{x},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {\ln x + 2} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{y}{{2\sqrt x }}\left( {\ln x + 2} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{{x^{\sqrt x }}}}{{2\sqrt x }}\left( {\ln x + 2} \right).} \]

   Пример 14

\[y = \sqrt {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{x}} \] Будем рассматривать данную функцию при \(x > 2\). Тогда логарифмируя левую и правую части равенства, имеем: \[ {\ln y = \ln \sqrt {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{x}} ,}\;\; {\Rightarrow \ln y = \frac{1}{2}\left[ {\ln \left( {x + 1} \right) + \ln \left( {x - 2} \right) - \ln x} \right].} \] Дифференцируя, находим производную \(y'\): \[\require{cancel} {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{2}\left[ {\ln \left( {x + 1} \right) + \ln \left( {x - 2} \right) - \ln x} \right]} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{x}} \right),}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{x\left( {x - 2} \right) + x\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\color{blue}{x^2} - \cancel{\color{red}{2x}} + \cancel{\color{blue}{x^2}} + \cancel{\color{red}{x}} - \cancel{\color{blue}{x^2}} - \cancel{\color{red}{x}} + \cancel{\color{red}{2x}} + \color{green}{2}}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\color{blue}{x^2} + \color{green}{2}}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}},}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{x}} \cdot \frac{{{x^2} + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}},}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{{x^2} + 2}}{{2\sqrt {{x^3}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} }}.} \]

   Пример 15

\[y = {x^{{x^x}}}\;\left( {x > 0,\;x \ne 1} \right).\] Логарифмируем заданную функцию: \[\ln y = \ln \left( {{x^{{x^x}}}} \right),\;\; \Rightarrow \ln y = {x^x}\ln x.\] Дифференцируя обе части по \(x\), получаем: \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {{x^x}\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y' = {\left( {{x^x}} \right)^\prime } \cdot \ln x + {x^x} \cdot {\left( {\ln x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = {\left( {{x^x}} \right)^\prime } \cdot \ln x + {x^x} \cdot \frac{1}{x}.} \] В примере \(1\) мы уже вычислили производную функции \(y = {x^x}\). Подставляя ее в верхнее соотношение, получаем следующее выражение для производной исходной функции: \[ {\frac{{y'}}{y} = {x^x}\left( {\ln x + 1} \right) \cdot \ln x + {x^x} \cdot \frac{1}{x},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = {x^x}\left[ {\ln x\left( {\ln x + 1} \right) + \frac{1}{x}} \right],}\;\; {\Rightarrow y' = y{x^x}\left[ {\ln x\left( {\ln x + 1} \right) + \frac{1}{x}} \right],}\;\; {\Rightarrow y' = {x^{{x^x}}}{x^x}\left[ {\ln x\left( {\ln x + 1} \right) + \frac{1}{x}} \right],}\;\; {\Rightarrow y' = {x^{{x^x} + x}}\left[ {\ln x\left( {\ln x + 1} \right) + \frac{1}{x}} \right].} \]

   Пример 16

\[y = {\sqrt x ^{\sqrt x }}\;\left( {x > 0,\;x \ne 1} \right).\] \[ {\ln y = \ln \left( {{{\sqrt x }^{\sqrt x }}} \right),}\;\; {\Rightarrow \ln y = \sqrt x \ln \sqrt x .} \] Следовательно, \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {\sqrt x \ln \sqrt x } \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y' = {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } \cdot \ln \sqrt x + \sqrt x \cdot {\left( {\ln \sqrt x } \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{1}{{2\sqrt x }} \cdot \ln \sqrt x + \sqrt x \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} \cdot {\left( {\sqrt x } \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{{\ln \sqrt x }}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt x }},}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{y}{{2\sqrt x }}\left( {\ln \sqrt x + 1} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{{{\sqrt x }^{\sqrt x }}}}{{2\sqrt x }}\left( {\ln \sqrt x + 1} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{1}{2}{\sqrt x ^{\sqrt x - 1}}\left( {\ln \sqrt x + 1} \right).} \]

   Пример 17

\[y = {\left( {\sin x} \right)^{\cos x}}\] В данном примере предполагается, что переменная \(x\) удовлетворяет области определения, имеющей вид: \[ {\left\{ \begin{array}{l} \sin x > 0\\ \sin x \ne 1 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\pi n < x < \pi + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\\ x \ne \frac{\pi }{2} + 2\pi m,\;m \in \mathbb{Z} \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow x \in \left( {2\pi n,\frac{\pi }{2} + 2\pi n} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi n,\pi + 2\pi n} \right),\;n \in \mathbb{Z}.} \] Прологарифмируем обе части равенства и затем продифференцируем. \[ {\ln y = \ln \left( {\sin {x^{\cos x}}} \right),}\;\; {\Rightarrow \ln y = \cos x\ln \sin x,}\;\; {\Rightarrow {\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {\cos x\ln \sin x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = {\left( {\cos x} \right)^\prime }\ln \sin x + \cos x{\left( {\ln \sin x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = - \sin x \cdot \ln \sin x + \cos x \cdot \frac{1}{{\sin x}} \cdot \cos x,}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{\sin x}} - \sin x\ln \sin x,}\;\; {\Rightarrow y' = y\left( {\cot x\cos x - \sin x\ln \sin x} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = {\left( {\sin x} \right)^{\cos x}}\left( {\cot x\cos x - \sin x\ln \sin x} \right).} \]

   Пример 18

\[y = \sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{{x^2} - 3}}{{1 + {x^5}}}}},\;\;x > \sqrt 3 .\] Сначала возьмем логарифм от обеих частей: \[ {\ln y = \ln \sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{{x^2} - 3}}{{1 + {x^5}}}}},}\;\; {\Rightarrow \ln y = \ln {\left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{1 + {x^5}}}} \right)^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} = \frac{1}{3}\ln\left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{1 + {x^5}}}} \right),}\;\; {\Rightarrow \ln y = \frac{1}{3}\left[ {\ln \left( {{x^2} - 3} \right) - \ln \left( {1 + {x^5}} \right)} \right].} \] Дифференцируя левую и правую части соотношения, получаем следующее выражение дял производной: \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = \frac{1}{3}{\left[ {\ln \left( {{x^2} - 3} \right) - \ln \left( {1 + {x^5}} \right)} \right]^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{1}{3}\left[ {{{\left( {\ln \left( {{x^2} - 3} \right)} \right)}^\prime } - {{\left( {\ln \left( {1 + {x^5}} \right)} \right)}^\prime }} \right],}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{{x^2} - 3}} \cdot 2x - \frac{1}{{1 + {x^5}}} \cdot 5{x^4}} \right),}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{1}{3}\left( {\frac{{2x}}{{{x^2} - 3}} - \frac{{5{x^4}}}{{1 + {x^5}}}} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{y}{3}\left( {\frac{{2x}}{{{x^2} - 3}} - \frac{{5{x^4}}}{{1 + {x^5}}}} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{1}{3}\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{{x^2} - 3}}{{1 + {x^5}}}}}\left( {\frac{{2x}}{{{x^2} - 3}} - \frac{{5{x^4}}}{{1 + {x^5}}}} \right).} \]

   Пример 19

\[y = {\left( {\cos x} \right)^{\arcsin x}}\] Логарифмируем обе части равенства: \[ {\ln y = \ln \left[ {{{\left( {\cos x} \right)}^{\arcsin x}}} \right],}\;\; {\Rightarrow \ln y = \arcsin x\ln \cos x.} \] Далее дифференцируя, получаем \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {\arcsin x\ln \cos x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y' = {\left( {\arcsin x} \right)^\prime } \cdot \ln \cos x + \arcsin x \cdot {\left( {\ln \cos x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} \cdot \ln \cos x + \arcsin x \cdot \frac{1}{{\cos x}} \cdot {\left( {\cos x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{{\ln \cos x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - \arcsin x\tan x,\;\;} {\Rightarrow y' = y\left( {\frac{{\ln \cos x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - \arcsin x\tan x} \right)}\;\; {\text{или}\;\;y' = {\left( {\cos x} \right)^{\arcsin x}}\left( {\frac{{\ln \cos x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - \arcsin x\tan x} \right).} \] Область определения данной функции и ее производной описывается следующими неравенствами: \[ {\left\{ \begin{array}{l} \cos x > 0\\ \cos x \ne 1\\ \left| x \right| < 1 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\\ x \ne 2\pi k,\;k \in \mathbb{Z}\\ \left| x \right| < 1 \end{array} \right.}\;\; {\text{или}\;\;0 < \left| x \right| < 1.} \]

   Пример 20

\[y = {\left( {\sin x} \right)^{\arctan x}}\] \[ {\ln y = \ln \left[ {{{\left( {\sin x} \right)}^{\arctan x}}} \right],}\;\; {\Rightarrow \ln y = \arctan x\ln \sin x.} \] Дифференцируя обе части по \(x\), находим производную: \[ {{\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {\arctan x\ln \sin x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y' = {\left( {\arctan x} \right)^\prime } \cdot \ln \sin x + \arctan x \cdot {\left( {\ln \sin x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{1}{{1 + {x^2}}} \cdot \ln \sin x + \arctan x \cdot \frac{1}{{\sin x}} \cdot {\left( {\sin x} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{y} = \frac{{\ln \sin x}}{{1 + {x^2}}} + \arctan x\cot x,}\;\; {\Rightarrow y' = y\left( {\frac{{\ln \sin x}}{{1 + {x^2}}} + \arctan x\cot x} \right)}\;\; {\text{или}\;\;y' = {\left( {\sin x} \right)^{\arctan x}}\left( {\frac{{\ln \sin x}}{{1 + {x^2}}} + \arctan x\cot x} \right).} \] Здесь аргумент \(x\) удовлетворяет условию: \[ {\left\{ \begin{array}{l} \sin x > 0\\ \sin x \ne 1 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \pi n < x < \pi + \pi n,\;n \in Z\\ x \ne \frac{\pi }{2} + \pi k,\;k \in Z \end{array} \right.}\;\; {\text{или}\;\;x \in \left( {\pi n,\frac{\pi }{2} + \pi n} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2} + \pi n,\pi + \pi n} \right),\;n \in Z.} \]