|
Линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
|
|
Нормальная линейная система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами записывается в виде \[ {\frac{{d{x_i}}}{{dt}} = {x'_i} = \sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}\left( t \right){x_j}\left( t \right)} + {f_i}\left( t \right),}\;\; {i = 1,2, \ldots ,n,} \] где \({{x_i}\left( t \right)}\) − неизвестные функции, которые являются непрерывными и дифференцируемыми на некотором интервале \(\left[ {a,b} \right].\) Коэффициенты \({{a_{ij}}\left( t \right)}\) и свободные члены \({f_i}\left( t \right)\) представляют собой непрерывные функции, заданные на интервале \(\left[ {a,b} \right].\)
Используя векторно-матричные обозначения, данную систему уравнений можно записать как \[{\mathbf{X'}}\left( t \right) = A\left( t \right){\mathbf{X}}\left( t \right) + {\mathbf{f}}\left( t \right),\] где \[ {{\mathbf{X}}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{x_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{x_n}\left( t \right)} \end{array}} \right),}\;\; {A\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}\left( t \right)}&{{a_{12}}\left( t \right)}& \vdots &{{a_{1n}}\left( t \right)}\\ {{a_{21}}\left( t \right)}&{{a_{22}}\left( t \right)}& \vdots &{{a_{2n}}\left( t \right)}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a_{n1}}\left( t \right)}&{{a_{n2}}\left( t \right)}& \vdots &{{a_{nn}}\left( t \right)} \end{array}} \right),}\;\; {{\mathbf{f}}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( t \right)}\\ {{f_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{f_n}\left( t \right)} \end{array}} \right).} \] В общем случае матрица \(A\left( t \right)\) и вектор-функции \({\mathbf{X}}\left( t \right),\) \({\mathbf{f}}\left( t \right)\) могут принимать как действительные, так и комплексные значения. Соответствующая однородная система с переменными коэффициентами в векторной форме имеет вид \[{\mathbf{X'}}\left( t \right) = A\left( t \right){\mathbf{X}}\left( t \right).\]
Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица
Вектор-функции \({\mathbf{x}_1}\left( t \right),{\mathbf{x}_2}\left( t \right), \ldots ,{\mathbf{x}_n}\left( t \right)\) являются линейно зависимыми на интервале \(\left[ {a,b} \right],\) если найдутся такие числа \({c_1},{c_2}, \ldots ,{c_n},\) одновременно не равные нулю, что выполняется тождество \[ {{c_1}{\mathbf{x}_1}\left( t \right) + {c_2}{\mathbf{x}_2}\left( t \right) + \cdots + {c_n}{\mathbf{x}_n}\left( t \right) \equiv 0,}\;\; {\forall t \in \left[ {a,b} \right].} \] Если указанное тождество выполняется лишь при условии \[{c_1} = {c_2} = \cdots = {c_n} = 0,\] то вектор-функции \({\mathbf{x}_i}\left( t \right)\) называются линейно независимыми на заданном интервале.Любая система \(n\) линейно независимых решений \({\mathbf{x}_1}\left( t \right),{\mathbf{x}_2}\left( t \right), \ldots ,{\mathbf{x}_n}\left( t \right)\) называется фундаментальной системой решений. Квадратная матрица \(\Phi\left( t \right),\) столбцы которой образованы линейно независимыми решениями \({\mathbf{x}_1}\left( t \right),{\mathbf{x}_2}\left( t \right), \ldots ,{\mathbf{x}_n}\left( t \right),\) называется фундаментальной матрицей системы уравнений. Она имеет следующий вид: \[\Phi \left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{11}}\left( t \right)}&{{x_{12}}\left( t \right)}& \vdots &{{x_{1n}}\left( t \right)}\\ {{x_{21}}\left( t \right)}&{{x_{22}}\left( t \right)}& \vdots &{{x_{2n}}\left( t \right)}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{x_{n1}}\left( t \right)}&{{x_{n2}}\left( t \right)}& \vdots &{{x_{nn}}\left( t \right)} \end{array}} \right),\] где \({{x_{ij}}\left( t \right)}\) − координаты линейно независимых векторных решений \({\mathbf{x}_1}\left( t \right),{\mathbf{x}_2}\left( t \right), \ldots ,{\mathbf{x}_n}\left( t \right).\) Заметим, что фундаментальная матрица \(\Phi \left( t \right)\) является невырожденной, т.е. для нее всегда существует обратная матрица \({\Phi ^{ - 1}}\left( t \right).\) Поскольку фундаментальная матрица содержит \(n\) линейно независимых решений, то при ее подстановке в однородную систему уравнений получаем тождество \[\Phi '\left( t \right) \equiv A\left( t \right)\Phi \left( t \right).\] Умножим это уравнение справа на обратную функцию \({\Phi ^{ - 1}}\left( t \right):\) \[ {\Phi '\left( t \right){\Phi ^{ - 1}}\left( t \right) \equiv A\left( t \right)\Phi \left( t \right){\Phi ^{ - 1}}\left( t \right),}\;\; {\Rightarrow A\left( t \right) \equiv \Phi '\left( t \right){\Phi ^{ - 1}}\left( t \right).} \] Полученное соотношение однозначно определяет однородную систему уравнений, если задана фундаментальная матрица. Общее решение однородной системы выражается через фундаментальную матрицу в виде \[{\mathbf{X}_0}\left( t \right) = \Phi \left( t \right)\mathbf{C},\] где \(\mathbf{C}\) − \(n\)-мерный вектор, состоящий из произвольных чисел. Упомянем один интересный частный случай однородных систем. Оказывается, если произведение матрицы \(A\left( t \right)\) и интеграла от этой матрицы коммутативно, т.е. \[A\left( t \right) \cdot \int\limits_a^t {A\left( \tau \right)dt} = \int\limits_a^t {A\left( \tau \right)dt} \cdot A\left( t \right),\] то фундаментальная матрица \(\Phi\left( t \right)\) для данной системы уравнений имеет вид \[\Phi \left( t \right) = {e^{\,\int\limits_a^t {A\left( \tau \right)d\tau } }}.\] Такое свойство выполняется в случае симметрических матриц и, в частности, в случае диагональных матриц.
Определитель Вронского и формула Лиувилля-Остроградского
Определитель фундаментальной матрицы \(\Phi\left( t \right)\) называется определителем Вронского или вронскианом системы решений \({\mathbf{x}_1}\left( t \right),{\mathbf{x}_2}\left( t \right), \ldots ,{\mathbf{x}_n}\left( t \right):\) \[ {W\left( t \right) = W\left[ {{\mathbf{x}_1},{\mathbf{x}_2}, \ldots ,{\mathbf{x}_n}} \right] } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{11}}\left( t \right)}&{{x_{12}}\left( t \right)}& \vdots &{{x_{1n}}\left( t \right)}\\ {{x_{21}}\left( t \right)}&{{x_{22}}\left( t \right)}& \vdots &{{x_{2n}}\left( t \right)}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{x_{n1}}\left( t \right)}&{{x_{n2}}\left( t \right)}& \vdots &{{x_{nn}}\left( t \right)} \end{array}} \right|.} \] Определитель Вронского удобно использовать для проверки линейной независимости решений. Справедливы следующие правила:
Для определителя Вронского системы решений \({\mathbf{x}_1}\left( t \right),{\mathbf{x}_2}\left( t \right), \ldots ,{\mathbf{x}_n}\left( t \right)\) справедлива формула Лиувилля-Остроградского: \[W\left( t \right) = {e^{\,\int\limits_a^t {\text{tr}\left( {A\left( \tau \right)} \right)d\tau } }},\] где \({\text{tr}\left( {A\left( \tau \right)} \right)}\) − след матрицы \({A\left( \tau \right)},\) т.е. сумма всех диагональных элементов: \[\text{tr}\left( {A\left( \tau \right)} \right) = {a_{11}}\left( \tau \right) + {a_{22}}\left( \tau \right) + \cdots + {a_{nn}}\left( \tau \right).\] Формула Лиувилля-Остроградского может применяться для построения общего решения однородной системы, если известно одно частное решение этой системы.
Метод вариации постоянных (метод Лагранжа)
Перейдем к рассмотрению неоднородных систем, которые в векторно-матричной форме записываются в виде \[\mathbf{X'}\left( t \right) = A\left( t \right)\mathbf{X}\left( t \right) + \mathbf{f}\left( t \right).\] Общее решение такой системы представляется в виде суммы общего решения \({\mathbf{X}_0}\left( t \right)\) соответствующей однородной системы и частного решения \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) неоднородной системы, т.е. \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {\mathbf{X}_0}\left( t \right) + {\mathbf{X}_1}\left( t \right) } = {\Phi \left( t \right)\mathbf{C} + {\mathbf{X}_1}\left( t \right),} \] где \(\Phi \left( t \right)\) − фундаментальная матрица, \(\mathbf{C}\) − произвольный числовой вектор.Наиболее общим методом решения неоднородных систем является метод вариации постоянных (метод Лагранжа). При использовании этого метода вместо постоянного вектора \(\mathbf{C}\) мы рассматриваем вектор \(\mathbf{C}\left( t \right),\) компоненты которого являются непрерывно дифференцируемыми функциями независимой переменной \(t,\) т.е. полагаем \[\mathbf{X}\left( t \right) = \Phi \left( t \right)\mathbf{C}\left( t \right).\] Подставляя это выражение в неоднородную систему, находим неизвестный вектор \(\mathbf{C}\left( t \right):\) \[\require{cancel} {\mathbf{X'}\left( t \right) = A\left( t \right)\mathbf{X}\left( t \right) + \mathbf{f}\left( t \right),}\;\; {\Rightarrow \cancel{\Phi '\left( t \right)\mathbf{C}\left( t \right)} + \Phi \left( t \right)\mathbf{C'}\left( t \right) } = {\cancel{A\left( t \right)\Phi \left( t \right)\mathbf{C}\left( t \right)} + \mathbf{f}\left( t \right),}\;\; {\Rightarrow \Phi \left( t \right)\mathbf{C'}\left( t \right) = \mathbf{f}\left( t \right).} \] Учитывая, что матрица \(\Phi \left( t \right)\) невырожденная, умножим последнее уравнение слева на \({\Phi ^{ - 1}}\left( t \right):\) \[ {{\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\Phi \left( t \right)\mathbf{C'}\left( t \right) = {\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\mathbf{f}\left( t \right),}\;\; {\Rightarrow \mathbf{C'}\left( t \right) = {\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\mathbf{f}\left( t \right).} \] После интегрирования получаем вектор \(\mathbf{C}\left( t \right).\) |
|
Пример 1
|
|
Составить линейную систему уравнений, имеющей решения \[ {{\mathbf{x}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ t \end{array}} \right),}\;\; {{\mathbf{x}_2}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} t\\ {{t^2}} \end{array}} \right),}\;\; {t \ne 0.} \]
Решение.
В задаче задана фундаментальная матрица системы: \[\Phi \left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&t\\ t&{{t^2}} \end{array}} \right).\] Вычислим обратную матрицу \({\Phi ^{ - 1}}\left( t \right):\) \[ {\Delta \left( \Phi \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&t\\ t&{{t^2}} \end{array}} \right| = 2{t^2} - {t^2} = {t^2},}\;\; {\Rightarrow {\Phi ^{ - 1}}\left( t \right) = \frac{1}{{\Delta \left( \Phi \right)}}C_{ij}^T } = {\frac{1}{{{t^2}}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{t^2}}&{ - t}\\ { - t}&2 \end{array}} \right)^T} } = {\frac{1}{{{t^2}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{t^2}}&{ - t}\\ { - t}&2 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - \frac{1}{t}}\\ { - \frac{1}{t}}&{\frac{2}{{{t^2}}}} \end{array}} \right).} \] Здесь через \({C_{ij}}\) обозначена матрица алгебраических дополнений к элементам фундаментальной матрицы \(\Phi \left( t \right).\)Матрица коэффициентов системы уравнений находится по формуле \[A\left( t \right) = \Phi '\left( t \right){\Phi ^{ - 1}}\left( t \right).\] Производная фундаментальной матрицы (она вычисляется поэлементно) равна \[{\Phi'}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&{{2t}} \end{array}} \right).\] Отсюда получаем \[ {A\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&{2t} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - \frac{1}{t}}\\ { - \frac{1}{t}}&{\frac{2}{{{t^2}}}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0 - \frac{1}{t}}&{0 + \frac{2}{{{t^2}}}}\\ {1 - 2}&{ - \frac{1}{t} + \frac{4}{t}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{1}{t}}&{\frac{2}{{{t^2}}}}\\ { - 1}&{\frac{3}{t}} \end{array}} \right).} \] Следовательно, система уравнений, решения которой равны \({\mathbf{x}_1}\left( t \right),\) \({\mathbf{x}_2}\left( t \right),\) записывается в виде \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = - \frac{x}{t} + \frac{{2y}}{{{t^2}}},}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = - x + \frac{{3y}}{t}.} \] |
|
Пример 2
|
|
Найти фундаментальную матрицу системы дифференциальных уравнений \[\frac{{dx}}{{dt}} = x + ty,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = tx + y.\] убедившись в том, что матрица коэффициентов \(A\left( t \right)\) перестановочна со своим интегралом.
Решение.
Проверим сначала, что перемножение матрицы \(A\left( t \right)\) со своим интегралом коммутативно. Исходная матрица имеет вид: \[A\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&t\\ t&1 \end{array}} \right).\] Интеграл от матрицы \(A\left( t \right)\) находится поэлементным интегрированием. Для простоты преобразований примем нижний предел интегрирования равным нулю. Тогда \[\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} t&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\ {\frac{{{t^2}}}{2}}&t \end{array}} \right).\] В результате получаем \[ {A\left( t \right) \cdot \int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&t\\ t&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} t&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\ {\frac{{{t^2}}}{2}}&t \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {t + \frac{{{t^3}}}{2}}&{\frac{{{t^2}}}{2} + {t^2}}\\ {{t^2} + \frac{{{t^2}}}{2}}&{\frac{{{t^3}}}{2} + t} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {t + \frac{{{t^3}}}{2}}&{\frac{{3{t^2}}}{2}}\\ {\frac{{3{t^2}}}{2}}&{t + \frac{{{t^3}}}{2}} \end{array}} \right),} \] \[ {\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } \cdot A\left( t \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} t&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\ {\frac{{{t^2}}}{2}}&t \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&t\\ t&1 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {t + \frac{{{t^3}}}{2}}&{{t^2} + \frac{{{t^2}}}{2}}\\ {\frac{{{t^2}}}{2} + {t^2}}&{\frac{{{t^3}}}{2} + t} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {t + \frac{{{t^3}}}{2}}&{\frac{{3{t^2}}}{2}}\\ {\frac{{3{t^2}}}{2}}&{t + \frac{{{t^3}}}{2}} \end{array}} \right).} \] Итак, свойство коммутативности произведения матриц соблюдается. Поэтому фундаментальная матрица выражается формулой \[ {\Phi \left( t \right) = {e^{\,\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } }} } = {{e^{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} t&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\ {\frac{{{t^2}}}{2}}&t \end{array}} \right)}}.} \] Вычислим матричную экспоненту, преобразовав матрицу к диагональному виду. В данном случае собственные значения зависят от переменной \(t\) и выражаются в следующем виде: \[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {t - \lambda }&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\ {\frac{{{t^2}}}{2}}&{t - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {t - \lambda } \right)^2} - {\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right)^2} = 0,}\;\; {\Rightarrow \left| {\lambda - t} \right| = \pm \frac{{{t^2}}}{2},}\;\; {\Rightarrow {\lambda _{1,2}} = t \pm \frac{{{t^2}}}{2}.} \] Для каждого собственного значения найдем соответствующий собственный вектор. Для \({\lambda _1}\) получаем: \[ {{\lambda _1} = t + \frac{{{t^2}}}{2},}\;\; {\Rightarrow \left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {t - \left( {t + \frac{{{t^2}}}{2}} \right)}&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\ {\frac{{{t^2}}}{2}}&{t - \left( {t + \frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow - \frac{{{t^2}}}{2}{V_{11}} + \frac{{{t^2}}}{2}{V_{21}} = 0,}\;\; {\Rightarrow {\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right).} \] Аналогично находим собственный вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T}\) для собственного числа \({\lambda _2}:\) \[ {{\lambda _2} = t - \frac{{{t^2}}}{2},}\;\; {\Rightarrow \left( {A - {\lambda _2}I} \right){\mathbf{V}_2} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {t - \left( {t - \frac{{{t^2}}}{2}} \right)}&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\ {\frac{{{t^2}}}{2}}&{t - \left( {t - \frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \frac{{{t^2}}}{2}{V_{12}} + \frac{{{t^2}}}{2}{V_{22}} = 0,}\;\; {\Rightarrow {\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-1}\\ 1 \end{array}} \right).} \] Тогда матрица перехода к диагональной (точнее к жордановой) форме имеет вид: \[H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right).\] Вычислим обратную матрицу \({H^{ - 1}}:\) \[ \Delta \left( H \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{r}} 1&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right| = 1 + 1 = 2,\;\; \Rightarrow {H^{ - 1}} = \frac{1}{{\Delta \left( H \right)}}H_{ij}^T = \frac{1}{2}{\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right)^T} = \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&1\\ { - 1}&1 \end{array}} \right). \] Следовательно, жорданова форма \(J\) будет выглядеть следующим образом: \[ {J = {H^{ - 1}}\left( {\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } } \right)H } = {\frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&1\\ { - 1}&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} t&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\ {\frac{{{t^2}}}{2}}&t \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right) } = {\frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {t + \frac{{{t^2}}}{2}}&{\frac{{{t^2}}}{2} + t}\\ { - t + \frac{{{t^2}}}{2}}&{ - \frac{{{t^2}}}{2} + t} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right) } = {\frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {t + \frac{{{t^2}}}{2} + \frac{{{t^2}}}{2} + t}&{ - \cancel{t} - \cancel{\frac{{{t^2}}}{2}} + \cancel{\frac{{{t^2}}}{2}} + \cancel{t}}\\ { - \cancel{t} + \cancel{\frac{{{t^2}}}{2}} - \cancel{\frac{{{t^2}}}{2}} + \cancel{t}}&{t - \frac{{{t^2}}}{2} - \frac{{{t^2}}}{2} + t} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \color{blue}{t + \frac{{{t^2}}}{2}}&0\\ 0&\color{red}{t - \frac{{{t^2}}}{2}} \end{array}} \right).} \] Экспонента от матрицы \(J\) равна \[ {{e^J} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{t + \frac{{{t^2}}}{2}}}}&0\\ 0&{{e^{t - \frac{{{t^2}}}{2}}}} \end{array}} \right) } = {{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}}}&0\\ 0&{{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}} \end{array}} \right).} \] Теперь можно вычислить фундаментальную матрицу \(\Phi \left( t \right):\) \[ {\Phi \left( t \right) = {e^{\,\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } }} = H{e^J}{H^{ - 1}} } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right) \cdot {e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}}}&0\\ 0&{{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}} \end{array}} \right) \cdot \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&1\\ { - 1}&1 \end{array}} \right) } = {\frac{{{e^t}}}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}} + 0}&{0 - {e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}}\\ {{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}} + 0}&{0 + {e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&1\\ { - 1}&1 \end{array}} \right) } = {\frac{{{e^t}}}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}}}&{ - {e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}}\\ {{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}}}&{{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&1\\ { - 1}&1 \end{array}} \right) } = {\frac{{{e^t}}}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}} + {e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}}&{{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}} - {e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}}\\ {{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}} - {e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}}&{{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}} + {e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}} \end{array}} \right) } = {{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cosh \frac{{{t^2}}}{2}}&{\sinh\frac{{{t^2}}}{2}}\\ {\sinh\frac{{{t^2}}}{2}}&{\cosh \frac{{{t^2}}}{2}} \end{array}} \right).} \]
|
|
Пример 3
|
|
Найти общее решение системы \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = - tx + y,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = \left( {1 - {t^2}} \right)x + ty,}\;\; {x > 0,} \] если известно одно решение: \[{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{y_1}\left( t \right)} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ t \end{array}} \right).\]
Решение.
Пусть второе линейно независимое решение выражается векторной функцией \[{\mathbf{X}_2}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}\left( t \right)}\\ {{y_2}\left( t \right)} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} u\\ v \end{array}} \right)\] с начальным условием \(u\left( {t = 0} \right) = 0, v\left( {t = 0} \right) = 1.\)Воспользуемся формулой Лиувилля-Остроградского, которая записывается в виде: \[ {W\left( t \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&u\\ t&v \end{array}} \right| } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ t&1 \end{array}} \right|{e^{\,\int\limits_0^t {\left( {A\left( \tau \right)} \right)d\tau } }} } = {1 \cdot {e^{\,\int\limits_0^t {\left( { - \tau + \tau } \right)d\tau } }} } = {{e^{\,\int\limits_0^t {0d\tau } }} } = {{e^0} = 1.} \] Отсюда получаем соотношение между неизвестными функциями \(u\) и \(v:\) \[v - tu = 1.\] Рассмотрим второе уравнение исходной системы. Подставляя в него решение \({\mathbf{X}_2}\left( t \right),\) запишем его в виде \[\frac{{dv}}{{dt}} = \left( {1 - {t^2}} \right)u + tv.\] Из предыдущего уравнения можно выразить слагаемое \(tv:\) \[ {v - tu = 1,\;\; \Rightarrow tv - {t^2}u = t,}\;\; {\Rightarrow tv = {t^2}u + t.} \] Подставим его в дифференциальное уравнение для функции \(v\left( t \right):\) \[ {\frac{{dv}}{{dt}} = \left( {1 - {t^2}} \right)u + tv,}\;\; {\Rightarrow \frac{{dv}}{{dt}} = \left( {1 - {t^2}} \right)u + {t^2}u + t,}\;\; {\Rightarrow \frac{{dv}}{{dt}} = u - \cancel{{t^2}u} + \cancel{{t^2}u} + t,}\;\; {\Rightarrow \frac{{dv}}{{dt}} = u + t,}\;\; {\Rightarrow t\frac{{dv}}{{dt}} = tu + {t^2}.} \] Учитывая, что \(tu = v - 1,\) получаем линейное линейное дифференциальное уравнение \(1\)-го порядка для функции \(v\left( t \right):\) \[ {t\frac{{dv}}{{dt}} = v - 1 + {t^2}\;\;\text{или}}\;\; {t\frac{{dv}}{{dt}} = v + {t^2} - 1.} \] Найдем сначала решение соответствующего однородного уравнения. \[ {t\frac{{dv}}{{dt}} = v,\;\; \Rightarrow \frac{{dv}}{v} = \frac{{dt}}{t},}\;\; {\Rightarrow \int {\frac{{dv}}{v}} = \int {\frac{{dt}}{t}} ,}\;\; {\Rightarrow \ln \left| v \right| = \ln \left| t \right| + \ln C,}\;\; {\Rightarrow {v_0}\left( t \right) = Ct,} \] где \(C\) − произвольное число. Теперь определим решение неоднородного уравнения, используя метод вариации постоянных: \[ {v\left( t \right) = C\left( t \right)t,}\;\; {\Rightarrow \frac{{dv\left( t \right)}}{{dt}} = \frac{{dC\left( t \right)}}{{dt}}t + C\left( t \right).} \] После подстановки получаем выражение для производной \(\large\frac{{dC}}{{dt}}\normalsize:\) \[ {t\left( {t\frac{{dC}}{{dt}} + C} \right) = Ct + {t^2} - 1,}\;\; {\Rightarrow {t^2}\frac{{dC}}{{dt}} + \cancel{Ct} = \cancel{Ct} + {t^2} - 1,}\;\; {\Rightarrow \frac{{dC}}{{dt}} = \frac{{{t^2} - 1}}{{{t^2}}} = 1 - \frac{1}{{{t^2}}}.} \] Интегрируя, находим функцию \(C\left( t \right):\) \[C\left( t \right) = \int {\left( {1 - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt} = t + \frac{1}{t}.\] Тогда функция \(v\left( t \right)\) будет выражаться формулой \[v\left( t \right) = C\left( t \right)t = {t^2} + 1.\] Далее легко найти и функцию \(u\left( t \right):\) \[ {v - tu = 1,\;\; \Rightarrow tu = v - 1,}\;\; {\Rightarrow tu = {t^2} + \cancel{1} - \cancel{1},}\;\; {\Rightarrow u\left( t \right) = t.} \] Итак, второе решение системы уравнений имеет вид: \[ {{\mathbf{X}_2}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}\left( t \right)}\\ {{y_2}\left( t \right)} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} u\\ v \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} t\\ {{t^2} + 1} \end{array}} \right).} \] Общее решение системы записывается как \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{\mathbf{X}_1}\left( t \right) + {C_2}{\mathbf{X}_2}\left( t \right) } = {{C_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ t \end{array}} \right) + {C_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} t\\ {{t^2} + 1} \end{array}} \right),} \] где \({C_1},{C_2}\) − произвольные постоянные. |
|
Пример 4
|
|
Найти общее решение линейной неоднородной системы уравнений \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = \cos t \cdot x + y + {e^{2\sin t}},}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = x + \cos t \cdot y + t{e^{2\sin t}}.} \]
Решение.
Сначала построим общее решение однородной системы \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = \cos t \cdot x + y ,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = x + \cos t \cdot y .} \] Заметим, что матрица системы \(A\left( t \right)\) симметрична. Проверим коммутативность произведения матрицы \(A\left( t \right)\) и интеграла от нее (интегрирование выполняется поэлементно). \[ {A\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t}&1\\ 1&{\cos t} \end{array}} \right),}\;\; {\Rightarrow \int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin t}&t\\ t&{\sin t} \end{array}} \right);} \] \[ {A\left( t \right) \cdot \int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t}&1\\ 1&{\cos t} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin t}&t\\ t&{\sin t} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t\sin t + t}&{t\cos t + \sin t}\\ {\sin t + t\cos t}&{t + \cos t\sin t} \end{array}} \right);} \] \[ {\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } \cdot A\left( t \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin t}&t\\ t&{\sin t} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t}&1\\ 1&{\cos t} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t\sin t + t}&{\sin t + t\cos t}\\ {t\cos t + \sin t}&{t + \cos t\sin t} \end{array}} \right).} \] Как видно, перемножение указанных матриц коммутативно. Поэтому фундаментальная матрица системы описывается формулой \[ {\Phi \left( t \right) = {e^{\,\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } }} } = {{e^{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin t}&t\\ t&{\sin t} \end{array}} \right)}}.} \] Теперь выполним необходимые преобразования с матричной экспонентой, чтобы записать общее решение однородной системы.Определим собственные значения: \[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin t - \lambda }&t\\ t&{\sin t - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {\sin t - \lambda } \right)^2} - {t^2} = 0,}\;\; {\Rightarrow \left| {\lambda - \sin t} \right| = \left| t \right|,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _{1,2}} = \sin t \pm t.} \] Для каждого собственного значения \({\lambda _1},\) \({\lambda _2}\) определим собственные векторы. Для числа \({\lambda _1}\) получаем: \[ {{\lambda _1} = \sin t + t,}\;\; {\Rightarrow \left[ {A\left( t \right) - {\lambda _1}\left( t \right)I} \right]{\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin t - \left( {\sin t + t} \right)}&t\\ t&{\sin t - \left( {\sin t + t} \right)} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - t}&t\\ t&{ - t} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow - t{V_{11}} + t{V_{21}} = 0,}\;\; {\Rightarrow {\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right).} \] Аналогичным образом находим собственный вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T}\) для числа \({\lambda _2}:\) \[ {{\lambda _2} = \sin t - t,}\;\; {\Rightarrow \left[ {A\left( t \right) - {\lambda _2}\left( t \right)I} \right]{\mathbf{V}_2} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin t - \left( {\sin t - t} \right)}&t\\ t&{\sin t - \left( {\sin t - t} \right)} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {t}&t\\ t&{t} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow t{V_{12}} + t{V_{22}} = 0,}\;\; {\Rightarrow {\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-1}\\ 1 \end{array}} \right).} \] Следовательно, матрица перехода от исходной матрицы \(A\left( t \right)\) к жордановой форме \(J\) имеет вид: \[H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right).\] Вычислим обратную матрицу \({H^{ - 1}}:\) \[ {\Delta \left( H \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{r}} 1&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right| = 1 + 1 = 2,}\;\; {\Rightarrow {H^{ - 1}} = \frac{1}{{\Delta \left( H \right)}}H_{ij}^T = \frac{1}{2}{\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right)^T} } = {\frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&1\\ { - 1}&1 \end{array}} \right).} \] Убедимся, что жорданова форма \(J\) для матрицы \(A\left( t \right)\) является диагональной с собственными значениями \({\lambda _1},\) \({\lambda _2}\) на диагонали: \[ J = {H^{ - 1}}\left( {\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } } \right)H = \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&1\\ { - 1}&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin t}&t\\ t&{\sin t} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin t + t}&{t + \sin t}\\ { - \sin t + t}&{ - t + \sin t} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin t + t + t + \sin t}&{ - \cancel{\sin t} - \cancel{t} + \cancel{t} + \cancel{\sin t}}\\ { - \cancel{\sin t} + \cancel{t} - \cancel{t} + \cancel{\sin t}}&{\sin t - t - t + \sin t} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \color{blue}{\sin t + t}&0\\ 0&\color{red}{\sin t - t} \end{array}} \right). \] Матричная экспонента для найденной матрицы \(J\) равна \[ {{e^J} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{\sin t + t}}}&0\\ 0&{{e^{\sin t - t}}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{\sin t}}{e^t}}&0\\ 0&{{e^{\sin t}}{e^{ - t}}} \end{array}} \right) } = {{e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^t}}&0\\ 0&{{e^{ - t}}} \end{array}} \right).} \] Тогда фундаментальная матрица \(\Phi \left( t \right)\) принимает следующий вид: \[ {\Phi \left( t \right) = {e^{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin t}&t\\ t&{\sin t} \end{array}} \right)}} } = {H{e^J}{H^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right) \cdot {e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^t}}&0\\ 0&{{e^{ - t}}} \end{array}} \right) \cdot \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&1\\ { - 1}&1 \end{array}} \right) } = {\frac{{{e^{\sin t}}}}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^t}}&{ - {e^{ - t}}}\\ {{e^t}}&{{e^{ - t}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&1\\ { - 1}&1 \end{array}} \right) } = {\frac{{{e^{\sin t}}}}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^t} + {e^{ - t}}}&{{e^t} - {e^{ - t}}}\\ {{e^t} - {e^{ - t}}}&{{e^t} + {e^{ - t}}} \end{array}} \right) } = {{e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cosh t}&{\sinh t}\\ {\sinh t}&{\cosh t} \end{array}} \right).} \] Таким образом, общее решение однородной системы выражается формулой \[ {{\mathbf{X}_0}\left( t \right) = \Phi \left( t \right)\mathbf{C} } = {{e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cosh t}&{\sinh t}\\ {\sinh t}&{\cosh t} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_1}}\\ {{C_2}} \end{array}} \right).} \] Теперь определим частное решение \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) неоднородной системы. В соответствии с методом вариации постоянных заменим постоянный вектор \(\mathbf{C}\) на векторную функцию \(\mathbf{C}\left( t \right).\) Производная этой векторной функции определяется соотношением \[ {\mathbf{C'}\left( t \right) = {\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\mathbf{f}\left( t \right),}\;\; {\text{где}\;\;\mathbf{f}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{2\sin t}}}\\ {t{e^{2\sin t}}} \end{array}} \right).} \] Вычислим обратную матрицу \({\Phi ^{ - 1}}\left( t \right),\) входящую в эту формулу. \[ {\Delta \left( \Phi \right) = {e^{2\sin t}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\cosh t}&{\sinh t}\\ {\sinh t}&{\cosh t} \end{array}} \right| } = {{e^{2\sin t}}\left( {{{\cosh }^2}t - {{\sinh }^2}t} \right) } = {{e^{2\sin t}},}\;\; {\Rightarrow {\Phi ^{ - 1}} = \frac{1}{{{e^{2\sin t}}}}{\left( {\begin{array}{*{20}{r}} {\cosh t}&{ - \sinh t}\\ { - \sinh t}&{\cosh t} \end{array}} \right)^T} } = {{e^{ - 2\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{r}} {\cosh t}&{ - \sinh t}\\ { - \sinh t}&{\cosh t} \end{array}} \right).} \] В результате получаем следующее выражение для производной \(\mathbf{C'}\left( t \right):\) \[ {\mathbf{C'}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_1}\left( t \right)}\\ {{C_2}\left( t \right)} \end{array}} \right) } = {{\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\mathbf{f}\left( t \right) } = {{e^{ - 2\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{r}} {\cosh t}&{ - \sinh t}\\ { - \sinh t}&{\cosh t} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{2\sin t}}}\\ {t{e^{2\sin t}}} \end{array}} \right) } = {\cancel{e^{ - 2\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{r}} {\cosh t}&{ - \sinh t}\\ { - \sinh t}&{\cosh t} \end{array}} \right) \cdot \cancel{e^{2\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ t \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cosh t - t\sinh t}\\ { - \sinh t + t\cosh t} \end{array}} \right).} \] Проинтегрируем это выражение: \[ {{C_1}\left( t \right) = \int {\left( {\cosh t - t\sinh t} \right)dt} } = {\int {\cosh tdt} - \int {t\cosh tdt} } = {\sinh t - \int {t\sinh tdt} .} \] Последний интеграл вычисляется по частям: \[ {\int {t\sinh tdt} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = t}\\ {v' = \sinh t}\\ {u' = 1}\\ {v = \cosh t} \end{array}} \right] } = {t\cosh t - \int {\cosh tdt} } = {t\cosh t - \sinh t.} \] Следовательно, \[ {{C_1}\left( t \right) = \sinh t - \left( {t\cosh t - \sinh t} \right) + {A_1} } = {2\sinh t - t\cosh t + {A_1},} \] где \({A_1}\) − произвольная постоянная. Аналогично находим функцию \({C_2}\left( t \right):\) \[ {{C_2}\left( t \right) = \int {\left( { - \sinh t + t\cosh t} \right)dt} } = { - \int {\sinh tdt} + \int {t\cosh tdt} } = { - \cosh t + \left( {t\sinh t - \int {\sinh tdt} } \right) } = { - \cosh t + t\sinh t - \cosh t + {A_2} } = { - 2\cosh t + t\sinh t + {A_2}.} \] Итак, общее решение исходной неоднородной системы записывается в виде: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \Phi \left( t \right)\mathbf{C}\left( t \right) } = {{e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cosh t}&{\sinh t}\\ {\sinh t}&{\cosh t} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2\sinh t + t\cosh t + {A_1}}\\ { - 2\cosh t + t\sinh t + {A_2}} \end{array}} \right) } = {{e^{\sin t}}\left\{ {\left( {{A_1} + 2\sinh t + t\cosh t} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cosh t}\\ {\sinh t} \end{array}} \right)} \right. } + {\left. {\left( {{A_2} - 2\cosh t + t\sinh t} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sinh t}\\ {\cosh t} \end{array}} \right)} \right\} } = {\underbrace {{e^{\sin t}}\left[ {{A_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cosh t}\\ {\sinh t} \end{array}} \right) + {A_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sinh t}\\ {\cosh t} \end{array}} \right)} \right]}_{{\mathbf{X}_0}\left( t \right)} } + {\underbrace {{e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cancel{2\sinh t\cosh t} - t\,{{\cosh }^2}t - \cancel{2\cosh t\sinh t} + t\,{{\sinh }^2}t}\\ {2\,{{\sinh }^2}t - \cancel{t\sinh t\cosh t} - 2\,{{\cosh }^2}t + \cancel{t\sinh t\cosh t}} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{X}_1}\left( t \right)} = {\mathbf{X}_0}\left( t \right) + {\mathbf{X}_1}\left( t \right).} \] Здесь компонент \({\mathbf{X}_1}\left( t \right),\) соответствующий неоднородной части системы, допускает более простую запись: \[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = {e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - t\left( {{{\cosh }^2}t - {{\sinh }^2}t} \right)}\\ { - 2\left( {{{\cosh }^2}t - {{\sinh }^2}t} \right)} \end{array}} \right) } = { - {e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} t\\ 2 \end{array}} \right).} \] Таким образом, окончательный ответ выглядит так: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {\mathbf{X}_0}\left( t \right) + {\mathbf{X}_1}\left( t \right) } = {{e^{\sin t}}\left[ {{A_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cosh t}\\ {\sinh t} \end{array}} \right) + {A_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sinh t}\\ {\cosh t} \end{array}} \right)} \right] } - {{e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} t\\ 2 \end{array}} \right).} \] |