|
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
|
|
Нормальная линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами \(n\)-го порядка записывается в виде \[ {\frac{{d{x_i}}}{{dt}} = {x'_i} } = {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}{x_j}\left( t \right)} + {f_i}\left( t \right),}\;\; {i = 1,2, \ldots ,n,} \] где \({x_1}\left( t \right),{x_2}\left( t \right), \ldots ,{x_n}\left( t \right)\) − неизвестные функции переменной \(t,\) которая часто имеет смысл времени, \({a_{ij}}\) − заданные постоянные коэффициенты, которые могут быть как действительными, так и комплексными, \({f_i}\left( t \right)\) − заданные (в общем случае комплексные) функции переменной \(t.\)
Будем считать, что все указанные функции являются непрерывными на некотором интервале \(\left[ {a,b} \right]\) действительной числовой оси \(t.\) Полагая \[ {X\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{x_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{x_n}\left( t \right)} \end{array}} \right),}\;\; {X'\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x'_1}\left( t \right)}\\ {{x'_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{x'_n}\left( t \right)} \end{array}} \right),}\;\; {f\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( t \right)}\\ {{f_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{f_n}\left( t \right)} \end{array}} \right),}\;\; {A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right),} \] систему дифференциальных уравнений можно переписать в матричной форме: \[X'\left( t \right) = AX\left( t \right) + f\left( t \right).\] Если вектор \(f\left( t \right)\) тождественно равен нулю: \(f\left( t \right) \equiv 0,\) то система называется однородной: \[X'\left( t \right) = AX\left( t \right).\] Однородные системы уравнений с постоянными коэффициентами можно решать различными способами. Чаще всего используются следующие методы решений:
Метод исключения
Используя метод исключения, нормальную линейную систему \(n\) уравнений можно привести к одному линейному уравнению \(n\)-го порядка. Этот метод удобно использовать для решения простых систем − прежде всего, для систем \(2\)-го порядка.Рассмотрим однородную систему двух уравнений с постоянными коэффициентами: \[\left\{ \begin{array}{l} {x'_1} = {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2}\\ {x'_2} = {a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} \end{array} \right.,\] где функции \({x_1},{x_2}\) зависят от переменной \(t.\) Продифференцируем первое уравнение и подставим производную \({x'_2}\) из второго уравнения: \[ {{x''_1} = {a_{11}}{x'_1} + {a_{12}}{x'_2},}\;\; {\Rightarrow {x''_1} = {a_{11}}{x'_1} + {a_{12}}\left( {{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2}} \right),}\;\; {\Rightarrow {x''_1} = {a_{11}}{x'_1} + {a_{12}}{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{a_{12}}{x_2}.} \] Из первого уравнения подставим \({a_{12}}{x_2}.\) Получаем линейное однородное уравнение \(2\)-го порядка: \[ {{x''_1} = {a_{11}}{x'_1} + {a_{12}}{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}\left( {{x'_1} - {a_{11}}{x_1}} \right),}\;\; {\Rightarrow {x''_1} = {a_{11}}{x'_1} + {a_{12}}{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x'_1} - {a_{11}}{a_{22}}{x_1},}\;\; {\Rightarrow {x''_1} - \left( {{a_{11}} + {a_{22}}} \right){x'_1} + \left( {{a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}} \right){x_1} = 0.} \] Его решение легко построить, если известны корни характеристического уравнения: \[ {{\lambda ^2} - \left( {{a_{11}} + {a_{22}}} \right)\lambda + \left( {{a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow D = {\left( {{a_{11}} + {a_{22}}} \right)^2} - 4\left( {{a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}} \right) } ={ {\left( {{a_{11}} - {a_{22}}} \right)^2} + 4{a_{12}}{a_{21}},}\;\; {\Rightarrow {\lambda _{1,2}} = \frac{{{a_{11}} + {a_{22}} \pm \sqrt {{{\left( {{a_{11}} - {a_{22}}} \right)}^2} + 4{a_{12}}{a_{21}}} }}{2}.} \] В случае действительных коэффициентов \({a_{ij}}\) корни могут быть как действительными (различными или кратными), так и комплексными. В частности, если коэффициенты \({a_{12}}\) и \({a_{21}}\) одного знака, то дискриминант характеристического уравнения всегда будет положительным и, соответственно, корни будут действительными и различными. После определения функции \({x_1}\left( t \right)\) другую функцию \({x_2}\left( t \right)\) можно найти из первого уравнения системы. Метод исключения можно применять не только к однородным линейным системам. Его можно использовать также для решения неоднородных систем дифференциальных уравнений или систем уравнений с переменными коэффициентами. |
|
Пример 1
|
|
Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения: \[{x'_1} = 2{x_1} + 3{x_2},\;\;\;{x'_2} = 4{x_1} - 2{x_2}.\]
Решение.
Продифференцируем первое уравнение, затем подставим производную \({x'_2}\) из второго уравнения: \[ {{x''_1} = 2{x'_1} + 3{x'_2},}\;\; {\Rightarrow {x''_1} = 2{x'_1} + 3\left( {4{x_1} - 2{x_2}} \right),}\;\; {\Rightarrow {x''_1} = 2{x'_1} + 12{x_1} - 6{x_2}.} \] Из первого уравнения системы выразим \(3{x_2}:\) \[3{x_2} = {x'_1} - 2{x_1}.\] Подставляя это в последнее уравнение, получаем: \[\require{cancel} {{x''_1} = 2{x'_1} + 12{x_1} - 2\left( {{x'_1} - 2{x_1}} \right),}\;\; {\Rightarrow {x''_1} = \cancel{2{x'_1}} + 12{x_1} - \cancel{2{x'_1}} + 4{x_1},}\;\; {\Rightarrow {x''_1} - 16{x_1} = 0.} \] Найдем корни соответствующего характеристического уравнения: \[{\lambda ^2} - 16 = 0,\;\; \Rightarrow {\lambda _{1,2}} = \pm 4.\] Следовательно, общее решение уравнения \(2\)-го порядка для переменной \({x_1}\) имеет вид: \[{x_1}\left( t \right) = {C_1}{e^{4t}} + {C_2}{e^{ - 4t}},\] где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные постоянные.Теперь вычислим производную \({x'_1}\) и подставим выражения для \({x_1},\) \({x'_1}\) в первое уравнение исходной системы: \[ {{x'_1}\left( t \right) = 4{C_1}{e^{4t}} - 4{C_2}{e^{ - 4t}},}\;\; {\Rightarrow 4{C_1}{e^{4t}} - 4{C_2}{e^{ - 4t}} = 2{C_1}{e^{4t}} + 2{C_2}{e^{ - 4t}} + 3{x_2},}\;\; {\Rightarrow 3{x_2} = 2{C_1}{e^{4t}} - 6{C_2}{e^{ - 4t}},}\;\; {\Rightarrow {x_2} = \frac{2}{3}{C_1}{e^{4t}} - 2{C_2}{e^{ - 4t}}.} \] Чтобы оставить целочисленные коэффициенты, удобно переобозначить: \({C_1} \to 3{C_1}.\) В результате получаем окончательное решение в следующем виде: \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1}\left( t \right) = 3{C_1}{e^{4t}} + {C_2}{e^{ - 4t}}\\ {x_2}\left( t \right) = 2{C_1}{e^{4t}} - 2{C_2}{e^{ - 4t}} \end{array} \right..\] |
|
Пример 2
|
|
Решить систему уравнений методом исключения: \[x' = 6x - y,\;\;\;y' = x + 4y.\]
Решение.
Приведем данную систему к одному уравнению \(2\)-го порядка для функции \(x\left( t \right).\) Дифференцируя первое уравнение и подставляя \(y'\) из второго уравнения, имеем: \[ {x'' = 6x' - y',}\;\; {\Rightarrow x'' = 6x' - \left( {x + 4y} \right),}\;\; {\Rightarrow x'' = 6x' - x - 4y.} \] Переменную \(y\) выразим через \(x\) и \(x'\) из первого уравнения системы: \[ {y = 6x - x',}\;\; {\Rightarrow x'' = 6x' - x - 4\left( {6x - x'} \right),}\;\; {\Rightarrow x'' = 6x' - x - 24x + 4x',}\;\; {\Rightarrow x'' - 10x' + 25x = 0.} \] Вычислим корни характеристического уравнения: \[ {{\lambda ^2} - 10\lambda + 25 = 0,\;\;\;D = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _1} = 5.} \] Итак, мы имеем один корень \(\lambda = 5\) кратности \(2.\) Следовательно, общее решение для функции \(x\left( t \right)\) записывается в виде: \[x\left( t \right) = \left( {{C_1} + {C_2}t} \right){e^{5t}},\] где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные числа.Найдем производную \(x'\left( t \right)\) и после подстановки в первое уравнение исходной системы определим функцию \(y\left( t \right):\) \[ {x'\left( t \right) = {C_2}{e^{5t}} + \left( {5{C_1} + 5{C_2}t} \right){e^{5t}} } = {\left( {5{C_1} + {C_2} + 5{C_2}t} \right){e^{5t}},}\;\; {\Rightarrow \left( {5{C_1} + {C_2} + 5{C_2}t} \right){e^{5t}} = \left( {6{C_1} + 6{C_2}t} \right){e^{5t}} - y,}\;\; {\Rightarrow y = \left( {{C_1} - {C_2} + {C_2}t} \right){e^{5t}}.} \] Таким образом, общее решение системы записывается как \[\left\{ \begin{array}{l} x\left( t \right) = \left( {{C_1} + {C_2}t} \right){e^{5t}}\\ y\left( t \right) = \left( {{C_1} - {C_2} + {C_2}t} \right){e^{5t}} \end{array} \right..\] |
|
Пример 3
|
|
Найти общее решение системы уравнений \[{x'_1} = 5{x_1} + 2{x_2},\;\;\;{x'_2} = - 4{x_1} + {x_2}.\]
Решение.
Дифференцируя первое уравнение, получаем: \[{x''_1} = 5{x'_1} + 2{x'_2}.\] Подставим производную \({x'_2}\) из второго уравнения: \[ {{x''_1} = 5{x'_1} + 2\left( { - 4{x_1} + {x_2}} \right),}\;\; {\Rightarrow {x''_1} = 5{x'_1} - 8{x_1} + 2{x_2}.} \] Из первого уравнения выразим \(2{x_2}\) через \({x_1}:\) \[ {{x''_1} = 5{x'_1} - 8{x_1} + {x'_1} - 5{x_1},}\;\; {\Rightarrow {x''_1} - 6{x'_1} + 13{x_1} = 0.} \] Мы получили однородное уравнение \(2\)-го порядка с постоянными коэффициентами. Как обычно, строим общее решение с помощью характеристического уравнения: \[ {{\lambda ^2} - 6\lambda + 13 = 0,\;\;D = 36 - 52 = - 16,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _{1,2}} = \frac{{6 \pm \sqrt { - 16} }}{2} } = {\frac{{6 \pm 4i}}{2} = 3 \pm 2i.} \] Как видно, характеристическое уравнение имеет корни в виде пары комплексно-сопряженных чисел. Общее решение для функции \({x_1}\left( t \right)\) записывается как \[{x_1}\left( t \right) = {e^{3t}}\left( {{C_1}\cos 2t + {C_2}\sin 2t} \right),\] где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные постоянные.Найдем теперь другую функцию \({x_1}\left( t \right).\) Производная \({x'_1}\) равна: \[ {{x'_1}\left( t \right) = 3{e^{3t}}\left( {{C_1}\cos 2t + {C_2}\sin 2t} \right) } + {{e^{3t}}\left( { - 2{C_1}\sin 2t + 2{C_2}\cos 2t} \right) } = {{e^{3t}}\left[ {\left( {3{C_1} + 2{C_2}} \right)\cos 2t + \left( {3{C_2} - 2{C_1}} \right)\sin 2t} \right].} \] Подставляя \({x_1}\) и \({x'_1}\) в первое уравнение системы, получаем: \[ {{e^{3t}}\left[ {\left( {3{C_1} + 2{C_2}} \right)\cos 2t + \left( {3{C_2} - 2{C_1}} \right)\sin 2t} \right] } = {5{e^{3t}}\left( {{C_1}\cos 2t + {C_2}\sin 2t} \right) + 2{x_2},}\;\; {\Rightarrow 2{x_2} = {e^{3t}}\left[ {\left( {2{C_2} - 2{C_1}} \right)\cos 2t - \left( {2{C_2} + 2{C_1}} \right)\sin 2t} \right],}\;\; {\Rightarrow {x_2} = {e^{3t}}\left[ {\left( {{C_2} - {C_1}} \right)\cos 2t - \left( {{C_2} + {C_1}} \right)\sin 2t} \right].} \] Итак, общее решение системы имеет вид: \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1}\left( t \right) = {e^{3t}}\left[ {{C_1}\cos 2t + {C_2}\sin 2t} \right]\\ {x_2}\left( t \right) = {e^{3t}}\left[ {\left( {{C_2} - {C_1}} \right)\cos 2t - \left( {{C_2} + {C_1}} \right)\sin 2t} \right] \end{array} \right..\] |