Сумма \(n\) первых натуральных чисел  
\(1 + 2 + 3 + \ldots + n = \large\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\normalsize\)

Сумма \(n\) первых четных натуральных чисел  
\(2 + 4 + 6 + \ldots + 2n = {n\left( {n + 1} \right)} \)

Сумма \(n\) первых нечетных натуральных чисел  
\(1 + 3 + 5 + \ldots + \left( {2n - 1} \right) = {n^2}\)

Сумма \(n\) натуральных чисел, начиная с \(k\)  
\(k + \left( {k + 1} \right) + \left( {k + 2} \right) + \ldots + \left( {k + n - 1} \right) = \large\frac{{n\left( {2k + n - 1} \right)}}{2}\normalsize\)

Сумма квадратов \(n\) первых натуральных чисел  
\({1^2} + {2^2} + {3^2} + \ldots + {n^2} = \large\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\normalsize\)

Сумма кубов \(n\) первых натуральных чисел  
\({1^3} + {2^3} + {3^3} + \ldots + {n^3} = {\left[ {\large\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}\normalsize \right]^2}\)

Сумма квадратов \(n\) первых нечетных натуральных чисел  
\({1^2} + {3^2} + {5^2} + \ldots + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \large\frac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3}\normalsize\)

Сумма кубов \(n\) первых нечетных натуральных чисел  
\({1^3} + {3^3} + {5^3} + \ldots + {\left( {2n - 1} \right)^3} = {n^2}\left( {2{n^2} - 1} \right)\)

\(\large\frac{1}{{1 \cdot 2}}\normalsize + \large\frac{1}{{2 \cdot 3}}\normalsize + \large\frac{1}{{3 \cdot 4}}\normalsize + \ldots + \large\frac{1}{{n \left( {n + 1} \right)}}\normalsize = \large\frac{n}{{n + 1}}\normalsize = 1 - \large\frac{1}{{n + 1}}\normalsize\)  

\(\large\frac{1}{{1 \cdot 2 \cdot 3}}\normalsize + \large\frac{1}{{2 \cdot 3 \cdot 4}}\normalsize + \large\frac{1}{{3 \cdot 4 \cdot 5}}\normalsize + \ldots + \large\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\normalsize = \large\frac{1}{2}\normalsize\left[ {\large\frac{1}{2}\normalsize - \large\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}}\normalsize \right]\)