Интегрирование рациональных функций

Для интегрирования рациональной функции \(\large\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\normalsize,\) где \({P\left( x \right)}\) и \({Q\left( x \right)}\) − полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень \({P\left( x \right)}\) больше степени \({Q\left( x \right)}\)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

2. Разложить знаменатель \({Q\left( x \right)}\) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

Рассмотрим указанные шаги более подробно.

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя \({P\left( x \right)}\) больше степени знаменателя \({Q\left( x \right)}\)), разделим многочлен \({P\left( x \right)}\) на \({Q\left( x \right)}.\) Получим следующее выражение: \[\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} = F\left( x \right) + \frac{{R\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}},\] где \(\large\frac{{R\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\normalsize\) − правильная рациональная дробь.

Запишем многочлен знаменателя \({Q\left( x \right)}\) в виде \[ {Q\left( x \right) } = {{\left( {x - a} \right)^\alpha } \cdots {\left( {x - b} \right)^\beta }{\left( {{x^2} + px + q} \right)^\mu } \cdots {\left( {{x^2} + rx + s} \right)^\nu },} \] где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

Запишем рациональную функцию в следующем виде: \[ {\frac{{R\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} = \frac{A}{{{{\left( {x - a} \right)}^\alpha }}} + \frac{{{A_1}}}{{{{\left( {x - a} \right)}^{\alpha - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{A_{\alpha - 1}}}}{{x - a}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^\beta }}} + \frac{{{B_1}}}{{{{\left( {x - b} \right)}^{\beta - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{B_{\beta - 1}}}}{{x - b}} }\kern0pt {+ \frac{{Kx + L}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^\mu }}} + \frac{{{K_1}x + {L_1}}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^{\mu - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{K_{\mu - 1}}x + {L_{\mu - 1}}}}{{{x^2} + px + q}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{Mx + N}}{{{{\left( {{x^2} + rx + s} \right)}^\nu }}} + \frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{{\left( {{x^2} + rx + s} \right)}^{\nu - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{M_{\nu - 1}}x + {N_{\nu - 1}}}}{{{x^2} + rx + s}}.} \] Общее число неопределенных коэффициентов \({A_i},\) \({B_i},\) \({K_i},\) \({L_i},\) \({M_i},\) \({N_i}, \ldots\) должно быть равно степени знаменателя \({Q\left( x \right)}.\)

Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель \({Q\left( x \right)}\) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями \(x.\) В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов \({A_i},\) \({B_i},\) \({K_i},\) \({L_i},\) \({M_i},\) \({N_i}, \ldots\) Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул: \[1.\;\;\int {\frac{A}{{x - a}}dx} = \ln \left| {x - a} \right|\] \[2.\;\;\int {\frac{A}{{{{\left( {x - a} \right)}^k}}}dx} = \frac{1}{{\left( {1 - k} \right){{\left( {x - a} \right)}^{k - 1}}}}\] У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат: \[\int {\frac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^k}}}dx} = \int {\frac{{At + B'}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}dt} ,\] где \(t = x + \large\frac{p}{2}\normalsize,\) \({m^2} = \large\frac{{4q - {p^2}}}{4}\normalsize,\) \(B' = B - \large\frac{{Ap}}{2}\normalsize.\) Затем применяются следующие формулы: \[3.\;\;\int {\frac{{tdt}}{{{t^2} + {m^2}}}} = \frac{1}{2}\ln \left( {{t^2} + {m^2}} \right)\] \[ {4.\;\;\int {\frac{{tdt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} } = {\frac{1}{{2\left( {1 - k} \right){{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}} } \] \[5.\;\;\int {\frac{{dt}}{{{t^2} + {m^2}}}} = \frac{1}{a}\arctan \frac{t}{m}\] Интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}\normalsize} \) может быть вычислен за \(k\) шагов с помощью формулы редукции \[ {6.\;\;\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} } = {\frac{t}{{2{m^2}\left( {k - 1} \right){{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}} } {+ \frac{{2k - 3}}{{2{m^2}\left( {k - 1} \right)}}\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}}} } \]

   Пример 1

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{2x + 3}}{{{x^2} - 9}}\normalsize dx} .\) Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби: \[ {\frac{{2x + 3}}{{{x^2} - 9}} } = {\frac{{2x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} } = {\frac{A}{{x - 3}} + \frac{B}{{x + 3}}.} \] Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями: \[ {A\left( {x + 3} \right) + B\left( {x - 3} \right) = 2x + 3,}\;\; {\Rightarrow Ax + 3A + Bx - 3B = 2x + 3,}\;\; {\Rightarrow \left( {A + B} \right)x + 3A - 3B = 2x + 3.} \] Следовательно, \[ {\left\{ \begin{array}{l} A + B = 2\\ 3A - 3B = 3 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = \frac{3}{2}\\ B = \frac{1}{2} \end{array} \right..} \] Тогда \[ {\frac{{2x + 3}}{{{x^2} - 9}} } = {\frac{{\frac{3}{2}}}{{x - 3}} + \frac{{\frac{1}{2}}}{{x + 3}}.} \] Теперь легко вычислить исходный интеграл \[ {\int {\frac{{2x + 3}}{{{x^2} - 9}}dx} } = {\frac{3}{2}\int {\frac{{dx}}{{x - 3}}} + \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{x + 3}}} } = {\frac{3}{2}\ln \left| {x - 3} \right| + \frac{1}{2}\ln \left| {x + 3} \right| + C } = {\frac{1}{2}\ln \left| {{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)} \right| + C.} \]

   Пример 2

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}\normalsize dx}.\) Сначала выделим правильную рациональную дробь, разделив числитель на знаменатель. \[\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}} = x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}.\] Получаем \[ {\int {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}dx} } = {\int {\left( {x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} } = {\int {xdx} - \int {dx} - \int {\frac{{dx}}{{x + 1}}} } = {\frac{{{x^2}}}{2} - x - \ln \left| {x + 1} \right| + C.} \]

   Пример 3

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{x^2} + 4x + 8}}\normalsize}.\) \[ {\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4x + 8}}} } = {\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4x + 4 + 4}}} } = {\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 4}}} } = {\int {\frac{{d\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {2^2}}}} } = {\frac{1}{2}\arctan \frac{{x + 2}}{2} + C.} \]

   Пример 4

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{{x^2}dx}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\normalsize} .\) Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей, используя метод неопределенных коэффициентов: \[ {\frac{{{x^2}dx}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} } = {\frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x - 2}} + \frac{C}{{x - 3}}.} \] Определим коэффициенты: \[ {A\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) } {+ B\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) } {+ C\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) } = {{x^2},} \] \[ {A{x^2} - 2Ax - 3Ax } {+ 6A + B{x^2} - Bx - 3Bx } {+ 3B + C{x^2} - Cx - 2Cx + 2C } = {{x^2},} \] \[ {\left( {A + B + C} \right){x^2} } {- \left( {5A + 4B + 3C} \right)x } {+ 6A + 3B + 2C } = {{x^2}.} \] Следовательно, \[ {\left\{ \begin{array}{l} A + B + C = 1\\ 5A + 4B + 3C = 0\\ 6A + 3B + 2C = 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = \frac{1}{2}\\ B = - 4\\ C = \frac{9}{2} \end{array} \right..} \] Получаем \[ {\frac{{{x^2}dx}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} } = {\frac{{\frac{1}{2}}}{{x - 1}} - \frac{4}{{x - 2}} + \frac{{\frac{9}{2}}}{{x - 3}}.} \] Интеграл, соответственно, равен \[ {\int {\frac{{{x^2}dx}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}} } = {\frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{x - 1}}} - 4\int {\frac{{dx}}{{x - 2}}} + \frac{9}{2}\int {\frac{{dx}}{{x - 3}}} } = {\frac{1}{2}\ln \left| {x - 1} \right| - 4\ln \left| {x - 2} \right| + \frac{9}{2}\ln \left| {x - 3} \right| + C.} \]

   Пример 5

Найти интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\normalsize} .\) Разложим подынтегральное выражение на сумму двух дробей. \[ {\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} } = {\frac{A}{{x + 1}} + \frac{{Bx + C}}{{{x^2} + 1}}.} \] Найдем неизвестные коэффициенты. \[ {A\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {Bx + C} \right)\left( {x + 1} \right) = 1,}\;\; {\Rightarrow A{x^2} + A + B{x^2} + Cx + Bx + C = 1,}\;\; {\Rightarrow \left( {A + B} \right){x^2} + \left( {B + C} \right)x + A + C = 1.} \] Отсюда получаем \[ {\left\{ \begin{array}{l} A + B = 0\\ B + C = 0\\ A + C = 1 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = \frac{1}{2}\\ B = - \frac{1}{2}\\ C = \frac{1}{2} \end{array} \right..} \] Подынтегральное выражение представляется в виде \[ {\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} } = {\frac{{\frac{1}{2}}}{{x + 1}} + \frac{{ - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}}}{{{x^2} + 1}} } = {\frac{1}{{2\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{{x^2} + 1}}.} \] Исходный интеграл равен \[ {\int {\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}} } = {\frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{x + 1}}} - \frac{1}{2}\int {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}} + \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + 1}}} } = {\frac{1}{2}\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{4}\int {\frac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} + \frac{1}{2}\arctan x } = {\frac{1}{2}\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{4}\ln \left( {{x^2} + 1} \right) + \frac{1}{2}\arctan x + C.} \]

   Пример 6

Найти интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{x^3} + 1}}\normalsize} .\) Разложим знаменатель в подынтегральном выражении на множители: \[{x^3} + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right).\] Далее представим подынтегральное выражение в виде суммы простейших дробей \[ {\frac{1}{{{x^3} + 1}} } = {\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} } = {\frac{A}{{x + 1}} + \frac{{Bx + C}}{{{x^2} - x + 1}}.} \] Определим коэффициенты: \[ {A\left( {{x^2} - x + 1} \right) + \left( {Bx + C} \right)\left( {x + 1} \right) = 1,}\;\; {\Rightarrow A{x^2} - Ax + A + B{x^2} + Cx + Bx + C = 1,}\;\; {\Rightarrow \left( {A + B} \right){x^2} + \left( { - A + B + C} \right)x + A + C = 1.} \] Следовательно, \[ {\left\{ \begin{array}{l} A + B = 0\\ - A + B + C = 0\\ A + C = 1 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = \frac{1}{3}\\ B = - \frac{1}{3}\\ C = \frac{2}{3} \end{array} \right..} \] Отсюда находим \[ {\frac{1}{{{x^3} + 1}} } = {\frac{{\frac{1}{3}}}{{x + 1}} + \frac{{ - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}}}{{{x^2} - x + 1}} } = {\frac{1}{{3\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{{x - 2}}{{{x^2} - x + 1}}.} \] Теперь вычислим исходный интеграл \[ {\int {\frac{{dx}}{{{x^3} + 1}}} } = {\frac{1}{3}\int {\frac{{dx}}{{x + 1}}} - \frac{1}{3}\int {\frac{{x - 2}}{{{x^2} - x + 1}}dx} } = {\frac{1}{3}\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{3}\int {\frac{{x - \frac{1}{2} - \frac{3}{2}}}{{{x^2} - x + 1}}dx} } = {\frac{1}{3}\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{3}\int {\frac{{x - \frac{1}{2}}}{{{x^2} - x + 1}}dx} } {+ \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - x + 1}}} } = {\frac{1}{3}\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{6}\int {\frac{{\left( {2x - 1} \right)dx}}{{{x^2} - x + 1}}} } {+ \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}} } = {\frac{1}{3}\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{6}\int {\frac{{d\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{x^2} - x + 1}}} } {+ \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}}{{{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} } {+ {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}} } = {\frac{1}{3}\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{6}\ln \left( {{x^2} - x + 1} \right) } {+ \frac{1}{{\sqrt 3 }}\arctan \frac{{2x - 1}}{{\sqrt 3 }} + C.} \]

   Пример 7

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{x^4} + 1}}\normalsize}. \) Перепишем знаменатель рациональной дроби в следующем виде: \[ {{x^4} + 1 } = {{x^4} + 2{x^2} - 2{x^2} + 1 } = {\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) - 2{x^2} } = {{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - 2{x^2} } = {\left( {{x^2} + 1 - \sqrt 2 x} \right)\left( {{x^2} + 1 + \sqrt 2 x} \right).} \] Поскольку полученные множители являются несократимыми квадратичными функциями, то подынтегральное выражение представляется в виде \[ {\frac{1}{{{x^4} + 1}} } = {\frac{1}{{\left( {{x^2} + 1 - \sqrt 2 x} \right)\left( {{x^2} + 1 + \sqrt 2 x} \right)}} } = {\frac{{Ax + B}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}} + \frac{{Cx + D}}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}.} \] Определим неизвестные коэффициенты. \[ {\left( {Ax + B} \right)\left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1} \right) } {+ \left( {Cx + D} \right)\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 1} \right) = 1,} \] \[ {A{x^3} + B{x^2} + \sqrt 2 A{x^2} } {+ \sqrt 2 Bx + Ax + B + C{x^3} } {+ D{x^2} - \sqrt 2 C{x^2} } {- \sqrt 2 Dx + Cx + D = 1,} \] \[ {\left( {A + C} \right){x^3} } {+ \left( {B + \sqrt 2 A + D - \sqrt 2 C} \right){x^2} } {+ \left( {\sqrt 2 B + A - \sqrt 2 D + C} \right)x } {+ B + D = 1.} \] Получаем \[ {\left\{ \begin{array}{l} A + C = 0\\ B + \sqrt 2 A + D - \sqrt 2 C = 0\\ \sqrt 2 B + A - \sqrt 2 D + C = 0\\ B + D = 1 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\\ B = \frac{1}{2}\sqrt 2 \\ C = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\\ D = \frac{1}{2} \end{array} \right..} \] Следовательно, \[ {\frac{1}{{{x^4} + 1}} } = {\frac{{ - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}x + \frac{1}{2}}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}} + \frac{{\frac{1}{{2\sqrt 2 }}x + \frac{1}{2}}}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}} } = { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\frac{{x - \sqrt 2 }}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\frac{{x + \sqrt 2 }}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}.} \] Интегрируем каждое слагаемое и находим ответ. \[ {\int {\frac{{dx}}{{{x^4} + 1}}} } = {{ - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int {\frac{{x - \sqrt 2 }}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}}dx} } + {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int {\frac{{x + \sqrt 2 }}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}dx} }} = {{ - \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\int {\frac{{2x - \sqrt 2 - \sqrt 2 }}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}}dx} } + {\frac{1}{{4\sqrt 2 }}\int {\frac{{2x + \sqrt 2 + \sqrt 2 }}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}dx} }} = {{ - \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\int {\frac{{2x - \sqrt 2 }}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}}dx} } + {\frac{1}{{4\sqrt 2 }}\int {\frac{{\sqrt 2 }}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}}dx} } + {\frac{1}{{4\sqrt 2 }}\int {\frac{{2x + \sqrt 2 }}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}dx} } + {\frac{1}{{4\sqrt 2 }}\int {\frac{{\sqrt 2 }}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}dx} }} = {{ - \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\int {\frac{{d\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 1} \right)}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}}} } + {\frac{1}{4}\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}}} } + {\frac{1}{{4\sqrt 2 }}\int {\frac{{d\left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1} \right)}}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}} } + {\frac{1}{4}\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}} }} = {{ - \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 1} \right) } + {\frac{1}{4}\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + \frac{1}{2}}}} } + {\frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1} \right) } + {\frac{1}{4}\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + \frac{1}{2}}}} }} = {{\frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left( {\frac{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}}} \right) } + {\frac{{\sqrt 2 }}{4}\arctan \frac{{x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}}{{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}} } + {\frac{{\sqrt 2 }}{4}\arctan \frac{{x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}}}{{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}} + C }} = {{\frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left( {\frac{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}}} \right) } + {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left[ {\arctan \left( {\sqrt 2 x - 1} \right) + \arctan \left( {\sqrt 2 x + 1} \right)} \right] + C.}} \]

   Пример 8

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{x^4} - 1}}\normalsize} .\) Разложим знаменатель на множители: \[ {{x^4} - 1 } = {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) } = {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right).} \] Запишем подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей. \[ {\frac{1}{{{x^4} - 1}} } = {\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} } = {\frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x + 1}} + \frac{{Cx + D}}{{{x^2} + 1}}.} \] Сгруппируем члены с одинаковыми степенями чтобы определить неизвестные коэффициенты из системы линейных уравнений. \[ {A\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right) } {+ B\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right) } {+ \left( {Cx + D} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 1,} \] \[ {A{x^3} + Ax + A{x^2} } {+ A + B{x^3} - B{x^2} } {+ Bx - B + C{x^3} } {+ D{x^2} - Cx - D = 1,} \] \[ {\left( {A + B + C} \right){x^3} } {+ \left( {A - B + D} \right){x^2}} {+ \left( {A + B - C} \right)x } {+ A - B - D = 1.} \] Следовательно, \[ {\left\{ \begin{array}{l} A + B + C = 0\\ A - B + D = 0\\ A + B - C = 0\\ A - B - D = 1 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = \frac{1}{4}\\ B = - \frac{1}{4}\\ C = 0\\ D = - \frac{1}{2} \end{array} \right..} \] Таким образом, подынтегральное выражение представляется в виде \[ {\frac{1}{{{x^4} - 1}} } = {\frac{{\frac{1}{4}}}{{x - 1}} - \frac{{\frac{1}{4}}}{{x + 1}} - \frac{{\frac{1}{2}}}{{{x^2} + 1}}.} \] Окончательно находим \[ {\int {\frac{{dx}}{{{x^4} - 1}}} } = {\frac{1}{4}\int {\frac{{dx}}{{x - 1}}} - \frac{1}{4}\int {\frac{{dx}}{{x + 1}}} - \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + 1}}} } = {\frac{1}{4}\ln \left| {x - 1} \right| - \frac{1}{4}\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{2}\arctan x + C } = {\frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| - \frac{1}{2}\arctan x + C.} \]

   Пример 9

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{5x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\normalsize dx}.\) Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей, учитывая что знаменатель имеет кратный корень \(3\)-го порядка: \[ {\frac{{5x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} } = {\frac{A}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x - 1}}.} \] Определим неизвестные коэффициенты. \[ {A + B\left( {x - 1} \right) + C{\left( {x - 1} \right)^2} = 5x,}\;\; {\Rightarrow A + Bx - B + C{x^2} - 2Cx + C = 5x,}\;\; {\Rightarrow C{x^2} + \left( {B - 2C} \right)x + A - B + C = 5x.} \] Получаем систему уравнений \[ {\left\{ \begin{array}{l} C = 0\\ B - 2C = 5\\ A - B + C = 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 5\\ B = 5\\ C = 0 \end{array} \right..} \] Следовательно, \[ {\frac{{5x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} } = {\frac{5}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + \frac{5}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.} \] Исходный интеграл равен \[ {\int {\frac{{5x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}dx} } = {\int {\left( {\frac{5}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + \frac{5}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} \right)dx} } = {5\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}} + 5\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} } = {5 \cdot \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^{ - 2}}}}{{ - 2}} - \frac{5}{{x - 1}} + C } = { - \frac{5}{{2{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \frac{5}{{x - 1}} + C.} \]

   Пример 10

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + x - 1} \right)}^2}}}\normalsize} .\) Выделим в знаменателе \({{x^2} + x - 1}\) полный квадрат: \[ {\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + x - 1} \right)}^2}}}} } = {\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \right)}^2}}}} } = {\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} \right)}^2}}}} .} \] Найдем полученный интеграл с помощью формулы редукции \[ {\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} } = {\frac{t}{{2{m^2}\left( {k - 1} \right){{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}} } {+ \frac{{2k - 3}}{{2{m^2}\left( {k - 1} \right)}}\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}}} } \] Получаем ответ: \[ {\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} \right)}^2}}}} } ={ \frac{1}{{2 \cdot \frac{3}{4} \cdot 1 \cdot \left( {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} \right)}} } +{ \frac{{4 - 3}}{{2 \cdot \frac{3}{4} \cdot 1}}\int {\frac{{dx}}{{\left( {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} \right)}}} } ={ \frac{2}{{3\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{2}{3}\int {\frac{{dx}}{{\left( {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} \right)}}} } ={ \frac{2}{{3\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan \frac{{x + \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} + C } ={ \frac{2}{{3\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{4}{{3\sqrt 3 }}\arctan \frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }} + C.} \]