Для интегрирования рациональной функции \(\large\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\normalsize,\)
где \({P\left( x \right)}\) и \({Q\left( x \right)}\) − полиномы, используется следующая последовательность шагов:
Если дробь неправильная (т.е. степень \({P\left( x \right)}\) больше степени \({Q\left( x \right)}\)),
преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
Разложить знаменатель \({Q\left( x \right)}\) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;
Вычислить интегралы от простейших дробей.
Рассмотрим указанные шаги более подробно.
Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби
Если дробь неправильная (т.е. степень числителя \({P\left( x \right)}\) больше степени знаменателя \({Q\left( x \right)}\)),
разделим многочлен \({P\left( x \right)}\) на \({Q\left( x \right)}.\) Получим следующее выражение:
\[\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} = F\left( x \right) + \frac{{R\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}},\]
где \(\large\frac{{R\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\normalsize\) − правильная рациональная дробь.
Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби
Запишем многочлен знаменателя \({Q\left( x \right)}\) в виде
\[
{Q\left( x \right) }
= {{\left( {x - a} \right)^\alpha } \cdots {\left( {x - b} \right)^\beta }{\left( {{x^2} + px + q} \right)^\mu } \cdots {\left( {{x^2} + rx + s} \right)^\nu },}
\]
где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.
Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Запишем рациональную функцию в следующем виде:
\[
{\frac{{R\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} = \frac{A}{{{{\left( {x - a} \right)}^\alpha }}} + \frac{{{A_1}}}{{{{\left( {x - a} \right)}^{\alpha - 1}}}} + \ldots }\kern0pt
{+ \frac{{{A_{\alpha - 1}}}}{{x - a}} + \ldots }\kern0pt
{+ \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^\beta }}} + \frac{{{B_1}}}{{{{\left( {x - b} \right)}^{\beta - 1}}}} + \ldots }\kern0pt
{+ \frac{{{B_{\beta - 1}}}}{{x - b}} }\kern0pt
{+ \frac{{Kx + L}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^\mu }}} + \frac{{{K_1}x + {L_1}}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^{\mu - 1}}}} + \ldots }\kern0pt
{+ \frac{{{K_{\mu - 1}}x + {L_{\mu - 1}}}}{{{x^2} + px + q}} + \ldots }\kern0pt
{+ \frac{{Mx + N}}{{{{\left( {{x^2} + rx + s} \right)}^\nu }}} + \frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{{\left( {{x^2} + rx + s} \right)}^{\nu - 1}}}} + \ldots }\kern0pt
{+ \frac{{{M_{\nu - 1}}x + {N_{\nu - 1}}}}{{{x^2} + rx + s}}.}
\]
Общее число неопределенных коэффициентов \({A_i},\) \({B_i},\) \({K_i},\) \({L_i},\) \({M_i},\) \({N_i}, \ldots\)
должно быть равно степени знаменателя \({Q\left( x \right)}.\)
Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель \({Q\left( x \right)}\) и приравняем коэффициенты при слагаемых
с одинаковыми степенями \(x.\) В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов
\({A_i},\) \({B_i},\) \({K_i},\) \({L_i},\) \({M_i},\) \({N_i}, \ldots\)
Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой
метод неопределенных коэффициентов.
Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.
Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:
\[1.\;\;\int {\frac{A}{{x - a}}dx} = \ln \left| {x - a} \right|\]
\[2.\;\;\int {\frac{A}{{{{\left( {x - a} \right)}^k}}}dx} = \frac{1}{{\left( {1 - k} \right){{\left( {x - a} \right)}^{k - 1}}}}\]
У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:
\[\int {\frac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^k}}}dx} = \int {\frac{{At + B'}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}dt} ,\]
где \(t = x + \large\frac{p}{2}\normalsize,\) \({m^2} = \large\frac{{4q - {p^2}}}{4}\normalsize,\) \(B' = B - \large\frac{{Ap}}{2}\normalsize.\)
Затем применяются следующие формулы:
\[3.\;\;\int {\frac{{tdt}}{{{t^2} + {m^2}}}} = \frac{1}{2}\ln \left( {{t^2} + {m^2}} \right)\]
\[
{4.\;\;\int {\frac{{tdt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} }
= {\frac{1}{{2\left( {1 - k} \right){{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}} }
\]
\[5.\;\;\int {\frac{{dt}}{{{t^2} + {m^2}}}} = \frac{1}{a}\arctan \frac{t}{m}\]
Интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}\normalsize} \)
может быть вычислен за \(k\) шагов с помощью
формулы редукции
\[
{6.\;\;\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} }
= {\frac{t}{{2{m^2}\left( {k - 1} \right){{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}} }
{+ \frac{{2k - 3}}{{2{m^2}\left( {k - 1} \right)}}\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}}} }
\]