|
|
|
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций
|
|
Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию
алгебраической рациональной функции, используя универсальную тригонометрическую подстановку \(x = 2\arctan t\)
(или \(t = \tan \large\frac{x}{2}\normalsize\)).
Для преобразования рациональных выражений от \(\sin x,\) \(\cos x,\) \(\tan x,\) \(\cot x,\) \(\sec x\) и \(\csc x\)
в алгебраические рациональные функции переменной \(t\) применяются следующие тригонометрические формулы:
\(\sin x = \large\frac{{2\tan \frac{x}{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}\normalsize = \large\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\normalsize\) | \(\cos x = \large\frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}\normalsize = \large\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\normalsize\) |
\(\sin x = \large\frac{{2\tan \frac{x}{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}\normalsize = \large\frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}\normalsize\) | \(\cot x = \large\frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}{{2\tan \frac{x}{2}}}\normalsize = \large\frac{{1 - {t^2}}}{{2t}}\normalsize\) |
\(\sec x = \large\frac{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}{{2\tan \frac{x}{2}}}\normalsize = \large\frac{{1 + {t^2}}}{{2t}}\normalsize\) | \(\csc x = \large\frac{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}\normalsize = \large\frac{{1 + {t^2}}}{{1 - {t^2}}}\normalsize\) |
Чтобы вычислить интеграл вида \(\large\int\normalsize {R\left( {\sin x} \right)\cos x\,dx} ,\) где \(R\) - рациональная функция, используется подстановка
\(t = \sin x.\)
Аналогично, для вычисления интеграла вида \(\large\int\normalsize {R\left( {\cos x} \right)\sin x\,dx} ,\) где \(R\) - рациональная функция, используется подстановка
\(t = \cos x.\)
Если подынтегральное выражение является только функцией \(\tan x,\) то подстановка \(t = \tan x\) преобразует
такой интеграл в интеграл от рациональной функции.
Для вычисления интеграла вида \(\large\int\normalsize {R\left( {\sin x} \right)\cos x\,dx} ,\) где обе функции \(\sin x\) и \(\cos x\) входят в четной степени,
применяется подстановка \(t = \tan x\) и формулы
\[
{{\cos ^2}x = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{1}{{1 + {t^2}}},}\;\;\;
{{\sin ^2}x = \frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{{{t^2}}}{{1 + {t^2}}}}
\]
|
Пример 1
|
|
Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}\normalsize}.\)
Решение.
Используем универсальную тригонометрическую подстановку
\[
{t = \tan \frac{x}{2},}\;\;
{\Rightarrow x = 2\arctan t,\;\;dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}.}
\]
Так как \(\sin x = \large\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\normalsize,\) получаем
\[
{\int {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} }
= {\int {\frac{{\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{1 + \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}}}} }
= {\int {\frac{{dt}}{{1 + {t^2} + 2t}}} }
= {\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} }
= { - \frac{2}{{t + 1}} + C }
= { - \frac{2}{{\tan \frac{x}{2} + 1}} + C.}
\]
|
Пример 2
|
|
Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{1 + \cos \frac{x}{2}}}\normalsize} .\)
Решение.
Сделаем подстановку
\[
{t = \tan \frac{x}{4},}\;\;
{\Rightarrow d\left( {\frac{x}{2}} \right) = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}},}\;\;
{\cos \frac{x}{2} = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}.}
\]
Тогда интеграл равен
\[\require{cancel}
{\int {\frac{{dx}}{{1 + \cos \frac{x}{2}}}} }
={ \int {\frac{{d\left( {\frac{x}{2}} \right)}}{{1 + \cos \frac{x}{2}}}} }
={ 2\int {\frac{{\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{1 + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}} }
={ 4\int {\frac{{dt}}{{1 + \cancel{t^2} + 1 - \cancel{t^2}}}} }
={ 2\int {dt} }
={ 2t + C }
={ 2\tan \frac{x}{4} + C.}
\]
|
Пример 3
|
|
Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{\sin x + \cos x}}\normalsize} \)
Решение.
Как и в предыдущих примерах, используем универсальную тригонометрическую подстановку
\[
{t = \tan \frac{x}{2},}\;\;
{\Rightarrow x = 2\arctan t,}\;\;
{dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}.}
\]
Поскольку \(\sin x = \large\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}\normalsize},\) \(\cos x = \large\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}\normalsize},\)
мы получаем
\[
{\int {\frac{{dx}}{{\sin x + \cos x}}} }
={ \int {\frac{{\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}} }
={ \int {\frac{{2dt}}{{2t + 1 - {t^2}}}} }
={ 2\int {\frac{{dt}}{{1 - \left( {{t^2} - 2t} \right)}}} }
={ 2\int {\frac{{dt}}{{1 - \left( {{t^2} - 2t + 1 - 1} \right)}}} }
={ 2\int {\frac{{dt}}{{2 - {{\left( {t - 1} \right)}^2}}}} }
={ 2\int {\frac{{d\left( {t - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {t - 1} \right)}^2}}}} }
={ 2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \left( {t - 1} \right)}}{{\sqrt 2 - \left( {t - 1} \right)}}} \right| + C }
={ \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 - 1 + \tan \frac{x}{2}}}{{\sqrt 2 + 1 - \tan \frac{x}{2}}}} \right| + C.}
\]
|
Пример 4
|
|
Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{\sec x + 1}}\normalsize} .\)
Решение.
Запишем интеграл в следующем виде:
\[
{I = \int {\frac{{dx}}{{\sec x + 1}}} }
= {\int {\frac{{dx}}{{\frac{1}{{\cos x}} + 1}}} }
= {\int {\frac{{\cos xdx}}{{1 + \cos x}}} .}
\]
Сделаем подстановку
\[
{t = \tan \frac{x}{2},}\;\;
{\Rightarrow x = 2\arctan t,}\;\;
{dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}.}
\]
В результате получаем:
\[
{I = \int {\frac{{\cos xdx}}{{1 + \cos x}}} }
={ \int {\frac{{\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} \cdot \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{1 + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}} }
={ 2\int {\frac{{\frac{{1 - {t^2}}}{{{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}}dt}}{{\frac{{1 + {t^2} + 1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}} }
={ \int {\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}dt} }
={ - \int {\frac{{1 + {t^2} - 2}}{{1 + {t^2}}}dt} }
={ - \int {1dt} + 2\int {\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}} }
={ - t + 2\arctan t + C }
={ - \tan \frac{x}{2} + 2\arctan \left( {\tan \frac{x}{2}} \right) + C }
={ x - \tan \frac{x}{2} + C.}
\]
|
Пример 5
|
|
Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}\normalsize}.\)
Решение.
Поскольку \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) мы можем записать
\[
{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} }
= {{\sin ^4}x + 2\,{\sin ^2}x\,{\cos ^2}x + {\cos ^4}x = 1.}
\]
Следовательно,
\[
{{\sin ^4}x + {\cos ^4}x }
={ 1 - 2\,{\sin ^2}x\,{\cos ^2}x }
={ 1 - \frac{{{{\left( {2\sin x\cos x} \right)}^2}}}{2} }
={ 1 - \frac{{{{\sin }^2}2x}}{2},}
\]
и интеграл преобразуется следующим образом:
\[
{I = \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}} }
= {\int {\frac{{dx}}{{1 - \frac{{{{\sin }^2}2x}}{2}}}} }
= {\int {\frac{{d\left( {2x} \right)}}{{2 - {{\sin }^2}2x}}} .}
\]
Сделаем подстановку
\(
{t = \tan 2x,}\;\;
{\Rightarrow d\left( {2x} \right) = \large\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}\normalsize.}
\)
Далее используем соотношение
\[
{{\sin ^2}2x }
= {\frac{{{{\tan }^2}2x}}{{1 + {{\tan }^2}2x}} }
= {\frac{{{t^2}}}{{1 + {t^2}}}.}
\]
Тогда
\[
{I = \int {\frac{{\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{2 - \frac{{{t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}} }
= {\int {\frac{{dt}}{{2 + 2{t^2} - {t^2}}}} }
= {\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {t^2}}}} }
= {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\arctan \frac{t}{{\sqrt 2 }} + C }
= {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\arctan \left( {\frac{{\tan 2x}}{{\sqrt 2 }}} \right) + C.}
\]
|
Пример 6
|
|
Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{a\sin x + b\cos x}}\normalsize}.\)
Решение.
Решим интеграл с помощью тригонометрической подстановки
\[
{t = \tan \frac{x}{2},}\;\;
{\Rightarrow x = 2\arctan t,}\;\;
{dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}.}
\]
Учитывая, что \(\sin x = \large\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\normalsize,\) \(\cos x = \large\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\normalsize,\)
находим интеграл:
\[
{\int {\frac{{dx}}{{a\sin x + b\cos x}}} }
= {\int {\frac{{\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{\frac{{2at}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{b - b{t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}} }
= {\int {\frac{{2dt}}{{2at + b - b{t^2}}}} }
= {\frac{2}{b}\int {\frac{{dt}}{{1 - \left( {{t^2} - \frac{{2a}}{b}t} \right)}}} }
= {\frac{2}{b}\int {\frac{{dt}}{{1 - \left( {{t^2} - \frac{{2a}}{b}t + \frac{{4{a^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{4{a^2}}}{{{b^2}}}} \right)}}} }
= {\frac{2}{b}\int {\frac{{dt}}{{1 + \frac{{4{a^2}}}{{{b^2}}} - {{\left( {t - \frac{a}{b}} \right)}^2}}}} }
= {\frac{2}{b}\int {\frac{{d\left( {t - \frac{a}{b}} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {\frac{{{b^2} + 4{a^2}}}{b}} } \right)}^2} - {{\left( {t - \frac{a}{b}} \right)}^2}}}} }
= {\frac{2}{b} \cdot \frac{1}{{\frac{{2\sqrt {{b^2} + 4{a^2}} }}{b}}} \cdot \ln \left| {\frac{{\frac{{\sqrt {{b^2} + 4{a^2}} }}{b} + \left( {t - \frac{a}{b}} \right)}}{{\frac{{\sqrt {{b^2} + 4{a^2}} }}{b} - \left( {t - \frac{a}{b}} \right)}}} \right| + C }
= {\frac{1}{{\sqrt {{b^2} + 4{a^2}} }}\ln \left| {\frac{{\sqrt {{b^2} + 4{a^2}} + b\tan \frac{x}{2} - a}}{{\sqrt {{b^2} + 4{a^2}} - b\tan \frac{x}{2} + a}}} \right| + C.}
\]
|
Пример 7
|
|
Найти интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{1 + \tan x}}\normalsize} .\)
Решение.
Сделаем следующую подстановку:
\[
{t = \tan x,}\;\;
{\Rightarrow x = \arctan t,}\;\;
{dx = \frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}.}
\]
В результате интеграл записывается в виде
\[
{I = \int {\frac{{dx}}{{1 + \tan x}}} }
= {\int {\frac{{\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{1 + t}}} }
= {\int {\frac{{dt}}{{\left( {1 + t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)}}} .}
\]
Разложим подынтегральное выражение на сумму дробей, используя метод неопределенных коэффициентов.
\[
{\frac{1}{{\left( {1 + t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)}} }
= {\frac{A}{{1 + t}} + \frac{{Bt + C}}{{1 + {t^2}}}.}
\]
Вычислим коэффициенты \(A, B, C.\)
\[
{1 = A\left( {1 + {t^2}} \right) + \left( {Bt + C} \right)\left( {1 + t} \right),}\;\;
{\Rightarrow 1 = A + A{t^2} + Bt + C + B{t^2} + Ct.}
\]
Следовательно,
\[
{\left\{ \begin{array}{l}
A + C = 1\\
A + B = 0\\
B + C = 0
\end{array} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = \frac{1}{2}\\
B = - \frac{1}{2}\\
C = \frac{1}{2}
\end{array} \right..}
\]
Интеграл равен
\[
{I = \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{1 + t}} + \frac{{1 - t}}{{1 + {t^2}}}} \right)dt} }
= {\frac{1}{2}\ln \left| {t + 1} \right| - \frac{1}{2}\int {\frac{{t - 1}}{{1 + {t^2}}}dt} }
= {\frac{1}{2}\ln \left| {t + 1} \right| - \frac{1}{4}\int {\frac{{2tdt}}{{1 + {t^2}}}} + \frac{1}{2}\int {\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}} }
= {\frac{1}{2}\ln \left| {t + 1} \right| - \frac{1}{4}\int {\frac{{d\left( {1 + {t^2}} \right)}}{{1 + {t^2}}}} + \frac{1}{2}\arctan t }
= {\frac{1}{2}\ln \left| {t + 1} \right| - \frac{1}{4}\ln \left( {{t^2} + 1} \right) + \frac{1}{2}\arctan t + C }
= {\frac{1}{2}\ln \left| {\tan x + 1} \right| - \frac{1}{4}\ln \left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) + \frac{x}{2} + C.}
\]
|
|
|
|