Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции, используя универсальную тригонометрическую подстановку \(x = 2\arctan t\) (или \(t = \tan \large\frac{x}{2}\normalsize\)).

Для преобразования рациональных выражений от \(\sin x,\) \(\cos x,\) \(\tan x,\) \(\cot x,\) \(\sec x\) и \(\csc x\) в алгебраические рациональные функции переменной \(t\) применяются следующие тригонометрические формулы:

Чтобы вычислить интеграл вида \(\large\int\normalsize {R\left( {\sin x} \right)\cos x\,dx} ,\) где \(R\) - рациональная функция, используется подстановка \(t = \sin x.\)

Аналогично, для вычисления интеграла вида \(\large\int\normalsize {R\left( {\cos x} \right)\sin x\,dx} ,\) где \(R\) - рациональная функция, используется подстановка \(t = \cos x.\)

Если подынтегральное выражение является только функцией \(\tan x,\) то подстановка \(t = \tan x\) преобразует такой интеграл в интеграл от рациональной функции.

Для вычисления интеграла вида \(\large\int\normalsize {R\left( {\sin x} \right)\cos x\,dx} ,\) где обе функции \(\sin x\) и \(\cos x\) входят в четной степени, применяется подстановка \(t = \tan x\) и формулы \[ {{\cos ^2}x = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{1}{{1 + {t^2}}},}\;\;\; {{\sin ^2}x = \frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{{{t^2}}}{{1 + {t^2}}}} \]

   Пример 1

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}\normalsize}.\) Используем универсальную тригонометрическую подстановку \[ {t = \tan \frac{x}{2},}\;\; {\Rightarrow x = 2\arctan t,\;\;dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}.} \] Так как \(\sin x = \large\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\normalsize,\) получаем \[ {\int {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} } = {\int {\frac{{\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{1 + \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}}}} } = {\int {\frac{{dt}}{{1 + {t^2} + 2t}}} } = {\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} } = { - \frac{2}{{t + 1}} + C } = { - \frac{2}{{\tan \frac{x}{2} + 1}} + C.} \]

   Пример 2

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{1 + \cos \frac{x}{2}}}\normalsize} .\) Сделаем подстановку \[ {t = \tan \frac{x}{4},}\;\; {\Rightarrow d\left( {\frac{x}{2}} \right) = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}},}\;\; {\cos \frac{x}{2} = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}.} \] Тогда интеграл равен \[\require{cancel} {\int {\frac{{dx}}{{1 + \cos \frac{x}{2}}}} } ={ \int {\frac{{d\left( {\frac{x}{2}} \right)}}{{1 + \cos \frac{x}{2}}}} } ={ 2\int {\frac{{\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{1 + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}} } ={ 4\int {\frac{{dt}}{{1 + \cancel{t^2} + 1 - \cancel{t^2}}}} } ={ 2\int {dt} } ={ 2t + C } ={ 2\tan \frac{x}{4} + C.} \]

   Пример 3

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{\sin x + \cos x}}\normalsize} \) Как и в предыдущих примерах, используем универсальную тригонометрическую подстановку \[ {t = \tan \frac{x}{2},}\;\; {\Rightarrow x = 2\arctan t,}\;\; {dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}.} \] Поскольку \(\sin x = \large\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}\normalsize},\) \(\cos x = \large\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}\normalsize},\) мы получаем \[ {\int {\frac{{dx}}{{\sin x + \cos x}}} } ={ \int {\frac{{\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}} } ={ \int {\frac{{2dt}}{{2t + 1 - {t^2}}}} } ={ 2\int {\frac{{dt}}{{1 - \left( {{t^2} - 2t} \right)}}} } ={ 2\int {\frac{{dt}}{{1 - \left( {{t^2} - 2t + 1 - 1} \right)}}} } ={ 2\int {\frac{{dt}}{{2 - {{\left( {t - 1} \right)}^2}}}} } ={ 2\int {\frac{{d\left( {t - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {t - 1} \right)}^2}}}} } ={ 2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \left( {t - 1} \right)}}{{\sqrt 2 - \left( {t - 1} \right)}}} \right| + C } ={ \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 - 1 + \tan \frac{x}{2}}}{{\sqrt 2 + 1 - \tan \frac{x}{2}}}} \right| + C.} \]

   Пример 4

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{\sec x + 1}}\normalsize} .\) Запишем интеграл в следующем виде: \[ {I = \int {\frac{{dx}}{{\sec x + 1}}} } = {\int {\frac{{dx}}{{\frac{1}{{\cos x}} + 1}}} } = {\int {\frac{{\cos xdx}}{{1 + \cos x}}} .} \] Сделаем подстановку \[ {t = \tan \frac{x}{2},}\;\; {\Rightarrow x = 2\arctan t,}\;\; {dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}.} \] В результате получаем: \[ {I = \int {\frac{{\cos xdx}}{{1 + \cos x}}} } ={ \int {\frac{{\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} \cdot \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{1 + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}} } ={ 2\int {\frac{{\frac{{1 - {t^2}}}{{{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}}dt}}{{\frac{{1 + {t^2} + 1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}} } ={ \int {\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}dt} } ={ - \int {\frac{{1 + {t^2} - 2}}{{1 + {t^2}}}dt} } ={ - \int {1dt} + 2\int {\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}} } ={ - t + 2\arctan t + C } ={ - \tan \frac{x}{2} + 2\arctan \left( {\tan \frac{x}{2}} \right) + C } ={ x - \tan \frac{x}{2} + C.} \]

   Пример 5

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}\normalsize}.\) Поскольку \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) мы можем записать \[ {{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} } = {{\sin ^4}x + 2\,{\sin ^2}x\,{\cos ^2}x + {\cos ^4}x = 1.} \] Следовательно, \[ {{\sin ^4}x + {\cos ^4}x } ={ 1 - 2\,{\sin ^2}x\,{\cos ^2}x } ={ 1 - \frac{{{{\left( {2\sin x\cos x} \right)}^2}}}{2} } ={ 1 - \frac{{{{\sin }^2}2x}}{2},} \] и интеграл преобразуется следующим образом: \[ {I = \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}} } = {\int {\frac{{dx}}{{1 - \frac{{{{\sin }^2}2x}}{2}}}} } = {\int {\frac{{d\left( {2x} \right)}}{{2 - {{\sin }^2}2x}}} .} \] Сделаем подстановку \( {t = \tan 2x,}\;\; {\Rightarrow d\left( {2x} \right) = \large\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}\normalsize.} \) Далее используем соотношение \[ {{\sin ^2}2x } = {\frac{{{{\tan }^2}2x}}{{1 + {{\tan }^2}2x}} } = {\frac{{{t^2}}}{{1 + {t^2}}}.} \] Тогда \[ {I = \int {\frac{{\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{2 - \frac{{{t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}} } = {\int {\frac{{dt}}{{2 + 2{t^2} - {t^2}}}} } = {\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {t^2}}}} } = {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\arctan \frac{t}{{\sqrt 2 }} + C } = {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\arctan \left( {\frac{{\tan 2x}}{{\sqrt 2 }}} \right) + C.} \]

   Пример 6

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{a\sin x + b\cos x}}\normalsize}.\) Решим интеграл с помощью тригонометрической подстановки \[ {t = \tan \frac{x}{2},}\;\; {\Rightarrow x = 2\arctan t,}\;\; {dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}.} \] Учитывая, что \(\sin x = \large\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\normalsize,\) \(\cos x = \large\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\normalsize,\) находим интеграл: \[ {\int {\frac{{dx}}{{a\sin x + b\cos x}}} } = {\int {\frac{{\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{\frac{{2at}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{b - b{t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}} } = {\int {\frac{{2dt}}{{2at + b - b{t^2}}}} } = {\frac{2}{b}\int {\frac{{dt}}{{1 - \left( {{t^2} - \frac{{2a}}{b}t} \right)}}} } = {\frac{2}{b}\int {\frac{{dt}}{{1 - \left( {{t^2} - \frac{{2a}}{b}t + \frac{{4{a^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{4{a^2}}}{{{b^2}}}} \right)}}} } = {\frac{2}{b}\int {\frac{{dt}}{{1 + \frac{{4{a^2}}}{{{b^2}}} - {{\left( {t - \frac{a}{b}} \right)}^2}}}} } = {\frac{2}{b}\int {\frac{{d\left( {t - \frac{a}{b}} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {\frac{{{b^2} + 4{a^2}}}{b}} } \right)}^2} - {{\left( {t - \frac{a}{b}} \right)}^2}}}} } = {\frac{2}{b} \cdot \frac{1}{{\frac{{2\sqrt {{b^2} + 4{a^2}} }}{b}}} \cdot \ln \left| {\frac{{\frac{{\sqrt {{b^2} + 4{a^2}} }}{b} + \left( {t - \frac{a}{b}} \right)}}{{\frac{{\sqrt {{b^2} + 4{a^2}} }}{b} - \left( {t - \frac{a}{b}} \right)}}} \right| + C } = {\frac{1}{{\sqrt {{b^2} + 4{a^2}} }}\ln \left| {\frac{{\sqrt {{b^2} + 4{a^2}} + b\tan \frac{x}{2} - a}}{{\sqrt {{b^2} + 4{a^2}} - b\tan \frac{x}{2} + a}}} \right| + C.} \]

   Пример 7

Найти интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{1 + \tan x}}\normalsize} .\) Сделаем следующую подстановку: \[ {t = \tan x,}\;\; {\Rightarrow x = \arctan t,}\;\; {dx = \frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}.} \] В результате интеграл записывается в виде \[ {I = \int {\frac{{dx}}{{1 + \tan x}}} } = {\int {\frac{{\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{1 + t}}} } = {\int {\frac{{dt}}{{\left( {1 + t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)}}} .} \] Разложим подынтегральное выражение на сумму дробей, используя метод неопределенных коэффициентов. \[ {\frac{1}{{\left( {1 + t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)}} } = {\frac{A}{{1 + t}} + \frac{{Bt + C}}{{1 + {t^2}}}.} \] Вычислим коэффициенты \(A, B, C.\) \[ {1 = A\left( {1 + {t^2}} \right) + \left( {Bt + C} \right)\left( {1 + t} \right),}\;\; {\Rightarrow 1 = A + A{t^2} + Bt + C + B{t^2} + Ct.} \] Следовательно, \[ {\left\{ \begin{array}{l} A + C = 1\\ A + B = 0\\ B + C = 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = \frac{1}{2}\\ B = - \frac{1}{2}\\ C = \frac{1}{2} \end{array} \right..} \] Интеграл равен \[ {I = \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{1 + t}} + \frac{{1 - t}}{{1 + {t^2}}}} \right)dt} } = {\frac{1}{2}\ln \left| {t + 1} \right| - \frac{1}{2}\int {\frac{{t - 1}}{{1 + {t^2}}}dt} } = {\frac{1}{2}\ln \left| {t + 1} \right| - \frac{1}{4}\int {\frac{{2tdt}}{{1 + {t^2}}}} + \frac{1}{2}\int {\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}} } = {\frac{1}{2}\ln \left| {t + 1} \right| - \frac{1}{4}\int {\frac{{d\left( {1 + {t^2}} \right)}}{{1 + {t^2}}}} + \frac{1}{2}\arctan t } = {\frac{1}{2}\ln \left| {t + 1} \right| - \frac{1}{4}\ln \left( {{t^2} + 1} \right) + \frac{1}{2}\arctan t + C } = {\frac{1}{2}\ln \left| {\tan x + 1} \right| - \frac{1}{4}\ln \left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) + \frac{x}{2} + C.} \]