Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Математический Анализ

В данном разделе мы рассмотрим \(8\) специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

1. Интегралы вида \({\large\int\normalsize} {\cos ax\cos bxdx} ,\) \({\large\int\normalsize} {\sin ax\cos bxdx} ,\) \({\large\int\normalsize} {\sin ax\sin bxdx}.\)

Для решения данных интегралов применяются формулы преобразования произведения тригонометрические функций в сумму или разность:

\( {\cos ax\cos bx } = {{\large\frac{1}{2}\normalsize} \left[ {\cos \left( {ax + bx} \right) + \cos \left( {ax - bx} \right)} \right]} \)
\( {\sin ax\cos bx } = {{\large\frac{1}{2}\normalsize} \left[ {\sin \left( {ax + bx} \right) + \sin \left( {ax - bx} \right)} \right]} \)
\( {\sin ax\sin bx } = {-{\large\frac{1}{2}\normalsize} \left[ {\cos \left( {ax + bx} \right) - \cos \left( {ax - bx} \right)} \right]} \)

2. Интегралы вида \({\large\int\normalsize} {{\sin^m}x\,{\cos^n}xdx}\)

Здесь и везде ниже предполагается, что \(m\) и \(n\) - натуральные числа. Для вычисления таких интегралов используются следующие подстановки и преобразования:

Если степень косинуса \(n\) - нечетная (при этом степень синуса \(m\) может быть любой), то используется подстановка \(u = \sin x;\)
Если степень синуса \(m\) - нечетная, то используется подстановка \(u = \cos x;\)
Если степени \(m\) и \(n\) - четные, то сначала применяются формулы двойного угла \[ {\sin 2x = 2\sin x\cos x,}\;\; {\cos 2x = {\cos^2}x - {\sin ^2}x } = {1 - 2\,{\sin ^2}x } = {2\,{\cos ^2}x - 1,} \] чтобы понизить степень синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b).

3. Интегралы вида \({\large\int\normalsize} {{\tan^n}xdx} \)

Степень подынтегрального выражения в данном интеграле можно понизить с помошью тригонометрического соотношения \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x\) и формулы редукции \[ {\int {{\tan^n}xdx} } = {\int {{{\tan }^{n - 2}}x\,{{\tan }^2}xdx} } = {\int {{{\tan }^{n - 2}}x\left( {{{\sec }^2}x - 1} \right)dx} } = {\frac{{{{\tan }^{n - 1}}x}}{{n - 1}} - \int {{{\tan }^{n - 2}}xdx} .} \]

4. Интегралы вида \({\large\int\normalsize} {{{\cot }^n}xdx} \)

Здесь степень подынтегрального выражения понижается с помошью соотношения \(1 + {\cot ^n}x = {\csc ^n}x\) и формулы редукции \[ {\int {{{\cot }^n}xdx} } = {\int {{{\cot }^{n - 2}}x\,{{\cot }^2}xdx} } = {\int {{{\cot }^{n - 2}}x\left( {{{\csc }^2}x - 1} \right)dx} } = { - \frac{{{{\cot }^{n - 1}}x}}{{n - 1}} - \int {{{\cot }^{n - 2}}xdx} .} \]

5. Интегралы вида \({\large\int\normalsize} {{\sec^n}xdx} \)

Данный тип интеграла упрощается с помощью следующей формулы редукции: \[ {\int {{\sec^n}xdx} } = {\frac{{{{\sec }^{n - 2}}x\tan x}}{{n - 1}} + \frac{{n - 2}}{{n - 1}}\int {{\sec^{n - 2}}xdx} .} \]

6. Интегралы вида \({\large\int\normalsize} {{\csc^n}xdx} \)

Аналогично предыдущим пунктам, интеграл упрощается с помощью формулы \[ {\int {{\csc^n}xdx} } = { - \frac{{{\csc^{n - 2}}x \cot x}}{{n - 1}} + \frac{{n - 2}}{{n - 1}}\int {{\csc^{n - 2}}xdx} .} \]

7. Интегралы вида \({\large\int\normalsize} {{\tan^m}x\,{\sec^n}xdx} \)

Если степень секанса \(n\) - четная, то c помощью соотношения \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x\) секанс выражается через тангенс. При этом множитель \({\sec ^2}x\) отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате весь интеграл (включая дифференциал) выражается через функцию \(\tan x.\)
Если обе степени \(n\) и \(m\) - нечетные, то отделяется множитель \(\sec x \tan x,\) необходимый для преобразования дифференциала. Далее весь интеграл выражается через \(\sec x.\)
Если степень секанса \(n\) - нечетная, а степень тангенса \(m\) - четная, то тангенс выражается через секанс с помощью формулы \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x.\) Затем вычисляются интегралы от секанса.

8. Интегралы вида \({\large\int\normalsize} {{\cot^m}x\,{\csc^n}xdx} \)

Если степень косеканса \(n\) - четная, то c помощью соотношения \(1 + {\cot^2}x = {\csc ^2}x\) косеканс выражается через котангенс. При этом множитель \({\csc^2}x\) отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате подынтегральная функция и дифференциал выражаются через \(\cot x.\)
Если обе степени \(n\) и \(m\) - нечетные, то отделяется множитель \(\cot x \csc x,\) необходимый для преобразования дифференциала. Далее интеграл выражается через \(\csc x.\)
Если степень косеканса \(n\) - нечетная, а степень котангенса \(m\) - четная, то котангенс выражается через косеканс с помощью формулы \(1 + {\cot^2}x = {\csc ^2}x.\) Затем вычисляются интегралы от косеканса.

Вычислить интеграл \({\large\int\normalsize} {{\sin^3}xdx}.\)

Решение.

Пусть \(u = \cos x,\) \(du = -\sin xdx.\) Тогда \[ {\int {{\sin^3}xdx} = \int {{\sin^2}x\sin xdx} } = {\int {\left( {1 - {\cos^2}x} \right)\sin xdx} } = { - \int {\left( {1 - {u^2}} \right)du} } = {\int {\left( {{u^2} - 1} \right)du} } = {\frac{{{u^3}}}{3} - u + C } = {\frac{{{{\cos }^3}x}}{3} - \cos x + C.} \]

Вычислить \({\large\int\normalsize} {{\cos^5}xdx}.\)

Решение.

Делая замену \(u = \sin x,\) \(du = \cos xdx\) и используя соотношение \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x,\) получаем \[ {\int {{\cos^5}xdx} } = {\int {{{\left( {{\cos^2}x} \right)}^2}\cos xdx} } = {\int {{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}^2}\cos x dx} } = {\int {{{\left( {1 - {u^2}} \right)}^2}du} } = {\int {\left( {1 - 2{u^2} + {u^4}} \right)du} } = {u - \frac{{2{u^3}}}{3} + \frac{{{u^5}}}{5} + C } = {\sin x - \frac{{2{{\sin }^3}x}}{3} + \frac{{{{\sin }^5}x}}{5} + C.} \]

Вычислить интеграл \({\large\int\normalsize} {{\sin^6}xdx}.\)

Решение.

Применив соотношения \({\sin ^2}x = \large\frac{{1 - \cos 2x}}{2}\normalsize\) и \({\cos ^2}x = \large\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\normalsize,\) можно записать \[ {I = \int {{\sin^6}xdx} } = {\int {{{\left( {{\sin^2}x} \right)}^3}dx} } = {\frac{1}{8}\int {{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^3}dx} } = {\frac{1}{8}\int {\left( {1 - 3\cos 2x + 3{{\cos }^2}2x - {{\cos }^3}2x} \right)dx} } = {\frac{x}{8} - \frac{3}{8} \cdot \frac{{\sin 2x}}{2} } + {\frac{3}{8}\int {{\cos^2}2xdx} } - {\frac{3}{8}\int {{\cos^3}2xdx}.} \] Вычислим интегралы в полученном выражении. \[ {\int {{\cos^2}2xdx} } = {\int {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}dx} } = {\frac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos 4x} \right)dx} } = {\frac{1}{2}\left( {x + \frac{{\sin 4x}}{4}} \right) } = {\frac{x}{2} + \frac{{\sin 4x}}{8}.} \] Чтобы найти интеграл \({\large\int\normalsize} {{\cos^3}2xdx},\) сделаем замену \(u = \sin 2x,\) \(du = 2\cos 2xdx.\) Тогда \[ {\int {{\cos^3}2xdx} } = {\frac{1}{2}\int {2{{\cos }^2}2x\cos 2xdx} } = {\frac{1}{2}\int {2\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)\cos 2xdx} } = {\frac{1}{2}\int {\left( {1 - {u^2}} \right)du} } = {\frac{u}{2} - \frac{{{u^3}}}{6} } = {\frac{{\sin 2x}}{2} - \frac{{{{\sin }^3}2x}}{6}.} \] Следовательно, исходный интеграл равен \[ {I = \frac{x}{8} - \frac{{3\sin 2x}}{{16}} } + {\frac{3}{8}\left( {\frac{x}{2} + \frac{{\sin 4x}}{8}} \right) } - {\frac{1}{8}\left( {\frac{{\sin 2x}}{2} - \frac{{{{\sin }^3}2x}}{6}} \right) + C } = {\frac{{5x}}{{16}} - \frac{{\sin 2x}}{4} } + {\frac{{3\sin 4x}}{{64}} } + {\frac{{{{\sin }^3}2x}}{{48}} + C.} \]

Найти интеграл \({\large\int\normalsize} {{{\sin }^2}x\,{{\cos }^4}xdx}.\)

Решение.

Перепишем интеграл в виде \[ {I = \int {{{\sin }^2}x\,{{\cos }^4}xdx} } = {\int {{{\left( {\sin x\cos x} \right)}^2}{{\cos }^2}xdx} .} \] Преобразуем подынтегральное выражение с помощью соотношений \[ {\sin x\cos x = \frac{{\sin 2x}}{2},}\;\; {{\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2},}\;\; {{\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}.} \] Получаем \[ {I = \int {{{\left( {\frac{{\sin 2x}}{2}} \right)}^2}\frac{{1 + \cos 2x}}{2}dx} } = {\frac{1}{8}\int {{{\sin }^2}2x\left( {1 + \cos 2x} \right)dx} } = {\frac{1}{8}\int {{{\sin }^2}2xdx} + \frac{1}{8}\int {{{\sin }^2}2x\cos 2xdx} } = {\frac{1}{8}\int {\frac{{1 - \cos 4x}}{2}dx} + \frac{1}{{16}}\int {2{{\sin }^2}2x\cos 2xdx} } = {\frac{1}{{16}}\int {\left( {1 - \cos 4x} \right)dx} + \frac{1}{{16}}\int {{{\sin }^2}2x\,d\left( {\sin 2x} \right)} } = {\frac{1}{{16}}\left( {x - \frac{{\sin 4x}}{4}} \right) + \frac{1}{{16}} \cdot \frac{{{{\sin }^3}2x}}{3} + C } = {\frac{x}{{16}} - \frac{{\sin 4x}}{{64}} + \frac{{{{\sin }^3}2x}}{{48}} + C.} \]

Найти интеграл \({\large\int\normalsize} {{{\sin }^3}x\sqrt {\cos x} dx}.\)

Решение.

Делая замену \(u = \cos x,\) \(du = -\sin xdx\) и выражая синус через косинус с помощью формулы \({\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x,\) получаем \[ {\int {{{\sin }^3}x\sqrt {\cos x} dx} } = {\int {{{\sin }^2}x\sqrt {\cos x} \sin xdx} } = {\int {\left( {1 - {\cos^2}x} \right)\sqrt {\cos x} \sin xdx} } = { - \int {\left( {1 - {u^2}} \right)\sqrt u du} } = { - \int {\left( {{u^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} - {u^{\large\frac{5}{2}\normalsize}}} \right)du} } = {\frac{{{u^{\large\frac{5}{2}\normalsize + 1}}}}{{\frac{5}{2} + 1}} - \frac{{{u^{\large\frac{1}{2}\normalsize + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C } = {\frac{2}{7}{u^{\large\frac{7}{2}\normalsize}} - \frac{2}{3}{u^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} + C } = {\frac{2}{7}\sqrt {{{\cos }^7}x} - \frac{2}{3}\sqrt {{{\cos }^3}x} + C.} \]

Вычислить интеграл \({\large\int\normalsize} {\sin {\large\frac{x}{4}\normalsize} \cos {\large\frac{x}{3}\normalsize} dx}.\)

Решение.

Преобразуем подынтегральное соотношение по формуле \[ {\sin ax\cos bx } = {\frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {ax + bx} \right) + \sin \left( {ax - bx} \right)} \right].} \] Следовательно, \[ {\sin \frac{x}{4}\cos \frac{x}{3} } = {\frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{x}{4} + \frac{x}{3}} \right) + \sin \left( {\frac{x}{4} - \frac{x}{3}} \right)} \right] } = {\frac{1}{2}\left( {\sin \frac{{7x}}{{12}} - \sin \frac{x}{{12}}} \right).} \] Тогда интеграл равен \[ {\int {\sin \frac{x}{4}\cos \frac{x}{3}dx} } = {\frac{1}{2}\int {\left( {\sin \frac{{7x}}{{12}} - \sin \frac{x}{{12}}} \right)dx} } = {\frac{1}{2}\left( {\frac{{\cos \frac{{7x}}{{12}}}}{{\frac{7}{{12}}}} - \frac{{\cos \frac{x}{{12}}}}{{\frac{1}{{12}}}}} \right) + C } = {\frac{6}{7}\cos \frac{{7x}}{{12}} - 6\cos \frac{x}{{12}} + C.} \]

Вычислить интеграл \({\large\int\normalsize} {{{\tan }^4}xdx}.\)

Решение.

Используем для преобразования интеграла соотношение \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x.\) Получаем \[ {\int {{{\tan }^4}xdx} = \int {{{\tan }^2}x\,{{\tan }^2}xdx} } = {\int {{{\tan }^2}x\left( {{{\sec }^2}x - 1} \right)dx} } = {\int {{{\tan }^2}x\,{{\sec }^2}xdx} - \int {{{\tan }^2}xdx} } = {\int {{{\tan }^2}x\,d\left( {\tan x} \right)} - \int {\left( {{{\sec }^2}x - 1} \right)dx} } = {\frac{{{{\tan }^3}x}}{3} - \tan x + x + C.} \]

Вычислить интеграл \({\large\int\normalsize} {{{\cot }^5}xdx}.\)

Решение.

Используя соотношение \(1 + {\cot ^2}x = {\csc ^2}x,\) находим \[ {\int {{\cot^5}xdx} } = {\int {{\cot^3}x\,{{\cot }^2}xdx} } = {\int {{\cot^3}x\left( {{\csc^2}x - 1} \right)dx} } = {\int {{\cot^3}x\,{{\csc }^2}xdx} - \int {{\cot^3}xdx} } = { - \int {{\cot^3}x\,d\left( {\cot x} \right)} - \int {\cot x \,{\cot^2}xdx} } = { - \frac{{{\cot^4}x}}{4} - \int {\cot x\left( {{\csc^2}x - 1} \right)dx} } = { - \frac{{{\cot^4}x}}{4} - \int {\cot x \,{\csc^2}xdx} + \int {\cot xdx} } = { - \frac{{{\cot^4}x}}{4} - \int {\cot x \,d\left( {\cot x} \right)} + \int {\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\sin x}}} } = { - \frac{{{\cot^4}x}}{4} + \frac{{{\cot^2}x}}{2} + \ln \left| {\sin x} \right| + C.} \]

Вычислить \({\large\int\normalsize} {{{\sec }^3}xdx}.\)

Решение.

Используем формулу редукции \[ {\int {{\sec^n}xdx} } = {\frac{{{{\sec }^{n - 2}}x\tan x}}{{n - 1}} } + {\frac{{n - 2}}{{n - 1}}\int {{\sec^{n - 2}}xdx}.} \] Следовательно, \[ {\int {{\sec^3}xdx} } = {\frac{{\sec x\tan x}}{2} + \frac{1}{2}\int {\sec xdx}.} \] Интеграл \({\large\int\normalsize} {\sec xdx}\) является табличным и равен \({\large\int\normalsize} {\sec xdx} = \ln \left| {\tan \left( {\large\frac{x}{2}\normalsize + \large\frac{\pi }{4}\normalsize} \right)} \right|.\) (Он легко вычисляется с помощью универсальной тригонометрической подстановки \(\tan \large\frac{x}{2}\normalsize\).) В результате исходный интеграл равен \[ {\int {{\sec^3}xdx} = \frac{{\sec x\tan x}}{2} } + {\frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C.} \]

Вычислить интеграл \({\large\int\normalsize} {{{\csc }^4}xdx}.\)

Решение.

Применяя формулу редукции \[ {\int {{\csc^n}xdx} } = { - \frac{{{\csc^{n - 2}}x \cot x}}{{n - 1}} } + {\frac{{n - 2}}{{n - 1}}\int {{\csc^{n - 2}}xdx},} \] получаем \[ {\int {{\csc^4}xdx} } = { - \frac{{{\csc^2}x \cot x}}{3} + \frac{2}{3}\int {{\csc^2}xdx} } = { - \frac{{{\csc^2}x \cot x}}{3} - \frac{2}{3}\cot x + C } = { - \frac{{\cot x}}{3}\left( {{{\csc }^2}x + 2} \right) + C.} \]

Найти интеграл \({\large\int\normalsize} {{\tan^3}x\,{{\sec }^2}xdx} .\)

Решение.

\[ {\int {{\tan^3}x\,{{\sec }^2}xdx} } = {\int {{\tan^3}x\,d\left( {\tan x} \right)} } = {\frac{{{{\tan }^4}x}}{4} + C.} \]

Найти интеграл \({\large\int\normalsize} {{\tan^2}x\sec xdx}.\)

Решение.

Выразим тангенс через секанс с помощью соотношения \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x.\) Тогда интеграл принимает вид \[ {I = \int {{\tan^2}x\sec xdx} } = {\int {\left( {{\sec^2}x - 1} \right)\sec xdx} } = {\int {{{\sec }^3}xdx} - \int {\sec xdx} .} \] Поскольку \({{\large\int\normalsize} {{\sec^3}xdx} = \large\frac{{\sec x\tan x}}{2}\normalsize } + {{\large\frac{1}{2}\normalsize}\ln \left| {\tan \left( {\large\frac{x}{2}\normalsize + \large\frac{\pi }{4}\normalsize} \right)} \right|}\) (см. пример 9), а интеграл \({\large\int\normalsize} {\sec xdx}\) является табличным и равен \({\large\int\normalsize} {\sec xdx} = \ln \left| {\tan \left( {\large\frac{x}{2}\normalsize + \large\frac{\pi }{4}\normalsize} \right)} \right|,\) то получаем окончательный ответ в виде \[ {I = \int {{{\sec }^3}xdx} - \int {\sec xdx} } = {\frac{{\sec x\tan x}}{2} } + {\frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| } - {\ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C } = {\frac{{\sec x\tan x}}{2} } - {\frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} } + {\frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C.} \]