|
|
|
|
Интегрирование гиперболических функций
|
|
Шесть основных гиперболических функций определяются следующим образом:
| \(\sinh x = \large\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}\normalsize\) |
\(\cosh x = \large\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}\normalsize\) |
| \(\tanh x = \large\frac{{\sinh x}}{{\cosh x}}\normalsize = \large\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\normalsize\) |
\(\coth x = \large\frac{{\cosh x}}{{\sinh x}}\normalsize = \large\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}\normalsize\) |
| \(\text{sech}\,x = \large\frac{1}{{\cosh x}}\normalsize = \large\frac{2}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\normalsize\) |
\(\text{csch}\,x = \large\frac{1}{{\sinh x}}\normalsize = \large\frac{2}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}\normalsize\) |
Наиболее важные формулы дифференцирования и интегрирования гиперболических функций имеют вид:
| \({\left( {\sinh x} \right)^\prime } = \cosh x\) |
\({\large\int\normalsize} {\cosh x dx} = \sinh x + C\) |
| \({\left( {\cosh x} \right)^\prime } = \sinh x\) |
\({\large\int\normalsize} {\sinh x dx} = \cosh x + C\) |
| \({\left( {\tanh x} \right)^\prime } = {\text{sech}^2}x\) |
\({\large\int\normalsize} {{\text{sech}^2}x dx} = \tanh x + C\) |
| \({\left( {\coth x} \right)^\prime } = -{\text{csch}^2}x\) |
\({\large\int\normalsize} {{\text{csch}^2}x dx} = -\coth x + C\) |
| \({\left( {\text{sech}\,x} \right)^\prime } = - \text{sech}\,x\tanh x\) |
\({\large\int\normalsize} {\text{sech}\,x\tanh xdx} = - \text{sech}\,x + C\) |
| \({\left( {\text{csch}\,x} \right)^\prime } = - \text{csch}\,x\coth x\) |
\({\large\int\normalsize} {\text{csch}\,x\coth xdx} = - \text{csch}\,x + C\) |
Приведем еще несколько полезных соотношений:
-
\({\cosh ^2}x - {\sinh ^2}x = 1\)
-
\(\sinh 2x = 2\sinh x\cosh x\)
-
\(\cosh 2x = {\cosh ^2}x + {\sinh ^2}x\)
Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки \(u = {e^x},\) \(x = \ln u,\) \(dx = \large\frac{{du}}{u}\normalsize.\)
|
|
Пример 1
|
|
Вычислить интеграл \({\large\int\normalsize} {\large\frac{{\cosh x}}{{2 + 3\sinh x}}\normalsize dx} .\)
Решение.
Сделаем подстановку \(u = 2 + 3\sinh x,\) \(du = 3\cosh x dx.\) Тогда \(\cosh x dx = \large\frac{{du}}{3}\normalsize.\) Следовательно, интеграл равен \[ {\int {\frac{{\cosh x}}{{2 + 3\sinh x}}dx} } = {\int {\frac{{\frac{{du}}{3}}}{u}} } = {\frac{1}{3}\int {\frac{{du}}{u}} } = {\frac{1}{3}\ln \left| u \right| + C } = {\frac{1}{3}\ln \left| {2 + 3\sinh x} \right| + C.} \]
|
|
Пример 2
|
|
Вычислить интеграл \({\large\int\normalsize} {{{\sinh }^3}xdx}.\)
Решение.
Поскольку \({\cosh ^2}x - {\sinh ^2}x = 1\) и, следовательно, \({\sinh^2}x = {\cosh ^2}x - 1,\) интеграл можно переписать в виде \[ {I = \int {{{\sinh }^3}xdx} } = {\int {{{\sinh }^2}x\sinh xdx} } = {\int {\left( {{\cosh^2}x - 1} \right)\sinh xdx} .} \] Делая замену \(u = \cosh x,\) \(du = \sinh xdx,\) получаем \[ {I = \int {\left( {{\cosh^2}x - 1} \right)\sinh xdx} } = {\int {\left( {{u^2} - 1} \right)du} } = {\frac{{{u^3}}}{3} - u + C } = {\frac{{{{\cosh }^3}x}}{3} - \cosh x + C.} \]
|
|
Пример 3
|
|
Вычислить \({\large\int\normalsize} {x\sinh xdx}.\)
Решение.
Используем интегрирование по частям: \({\large\int\normalsize} {udv} = uv - {\large\int\normalsize} {vdu} .\) Пусть \(u = x,\;dv=\sinh xdx.\) Тогда \(du = dx,\) \(v = {\large\int\normalsize} {\sinh xdx} = \cosh x.\) В результате находим интеграл \[ {\int {x\sinh xdx} } = {x\cosh x - \int {\cosh xdx} } = {x\cosh x - \sinh x + C.} \]
|
|
Пример 4
|
|
Вычислить интеграл \({\large\int\normalsize} {{e^x}\sinh xdx} .\)
Решение.
Так как \(\sinh x = \large\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}\normalsize,\) то интеграл равен \[ {\int {{e^x}\sinh xdx} } = {\int {{e^x}\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}dx} } = {\frac{1}{2}\int {\left( {{e^{2x}} - 1} \right)dx} } = {\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}{e^{2x}} - x} \right) + C } = {\frac{{{e^{2x}}}}{4} - \frac{x}{2} + C.} \]
|
|
Пример 5
|
|
Найти интеграл \({\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{1 + \cosh x}}\normalsize}.\)
Решение.
По определению, \(\cosh x = \large\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}\normalsize.\) Подставляя это в интеграл, получаем \[ {\int {\frac{{dx}}{{1 + \cosh x}}} } = {\int {\frac{{dx}}{{1 + \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}}}} } = {\int {\frac{{2dx}}{{2 + {e^x} + {e^{ - x}}}}} } = {2\int {\frac{{{e^x}dx}}{{2{e^x} + {e^{2x}} + 1}}} } = {2\int {\frac{{d\left( {{e^x} + 1} \right)}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}} } = { - \frac{2}{{{e^x} + 1}} + C.} \]
|
|
Пример 6
|
|
Найти интеграл \({\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{\sinh x + 2\cosh x}}\normalsize} .\)
Решение.
По определению, \(\sinh x = \large\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}\normalsize\) и \(\cosh x = \large\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}\normalsize.\) Следовательно, \[ {I = \int {\frac{{dx}}{{\sinh x + 2\cosh x}}} } = {\int {\frac{{dx}}{{\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2} + 2 \cdot \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}}}} } = {\int {\frac{{2dx}}{{{e^x} - {e^{ - x}} + 2{e^x} - 2{e^{ - x}}}}} } = {2\int {\frac{{dx}}{{3{e^x} + {e^{ - x}}}}} } = {2\int {\frac{{{e^x}dx}}{{3{e^{2x}} + 1}}} .} \] Сделаем замену \(u = {e^x},\) \(du = {e^x}dx\) и вычислим искомый интеграл: \[ {I = 2\int {\frac{{{e^x}dx}}{{3{e^{2x}} + 1}}} } = {2\int {\frac{{du}}{{3{u^2} + 1}}} } = {\frac{2}{3}\int {\frac{{du}}{{{u^2} + \frac{1}{3}}}} } = {\frac{2}{3}\int {\frac{{du}}{{{u^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}}} } = {\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{1}\arctan \frac{u}{{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} + C } = {\frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\sqrt 3 u} \right) + C } = {\frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\sqrt 3 {e^x}} \right) + C.} \]
|
|
Пример 7
|
|
Вычислить интеграл \({\large\int\normalsize} {\sinh 2x\cosh 3xdx} .\)
Решение.
Подставив формулы \(\sinh x = \large\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}\normalsize\) и \(\cosh x = \large\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}\normalsize,\) получаем \[ {\int {\sinh 2x\cosh 3xdx} } = {\int {\frac{{{e^{2x}} - {e^{ - 2x}}}}{2} \cdot \frac{{{e^{3x}} + {e^{ - 3x}}}}{2}dx} } = {\frac{1}{4}\int {\left( {{e^{2x}} - {e^{ - 2x}}} \right)\left( {{e^{3x}} + {e^{ - 3x}}} \right)dx} } = {\frac{1}{4}\int {\left( {{e^{2x + 3x}} - {e^{ - 2x + 3x}} + {e^{2x - 3x}} - {e^{ - 2x - 3x}}} \right)dx} } = {\frac{1}{4}\int {\left( {{e^{5x}} - {e^x} + {e^{ - x}} - {e^{ - 5x}}} \right)dx} } = {\frac{1}{4}\left( {\frac{{{e^{5x}}}}{5} - {e^x} - {e^{ - x}} + \frac{{{e^{ - 5x}}}}{5}} \right) + C } = {\frac{1}{{10}} \cdot \frac{{{e^{5x}} + {e^{ - 5x}}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} + C } = {\frac{{\cosh 5x}}{{10}} - \frac{{\cosh x}}{2} + C.} \]
|
|
Пример 8
|
|
Вычислить интеграл \({\large\int\normalsize} {\sinh x\cos xdx}.\)
Решение.
Интегрируем по частям. Полагаем \[ {u = \cos x,}\;\; {dv = \sinh xdx,}\;\; {\Rightarrow du = - \sin xdx,}\;\; {v = \int {\sinh xdx} = \cosh x.} \] Интеграл принимает вид \[ {\int {\sinh x\cos xdx} } = {\cosh x\cos x - \int {\cosh x\left( { - \sin x} \right)dx} } = {\cosh x\cos x + \int {\cosh x\sin xdx}.} \] Применим интегрирование по частям еще раз. Теперь полагаем \[ {u = \sin x,}\;\; {dv = \cosh xdx,}\;\; {\Rightarrow du = \cos xdx,}\;\; {v = \int {\cosh xdx} = \sinh x.} \] Получаем \[ {\int {\sinh x\cos xdx} } = {\cosh x\cos x + \int {\cosh x\sin xdx} } = {\cosh x\cos x + \left( {\sin x\sinh x - \int {\sinh x\cos xdx} } \right).} \] Решая полученное уравнение относительно \({\large\int\normalsize} {\sinh x\cos xdx},\) находим ответ \[ {\int {\sinh x\cos xdx} } = {\frac{{\cosh x\cos x + \sinh x \sin x}}{2}.} \]
|
|
|
|
