Замена переменных в тройных интегралах

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.

Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах \(x, y, z\) в области \(U:\) \[\iiint\limits_U {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} .\] Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах \(u, v, w.\) Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями: \[ {x = \varphi \left( {u,v,w} \right),}\;\; {y = \psi \left( {u,v,w} \right),}\;\; {z = \chi \left( {u,v,w} \right).} \] Предполагается, что выполнены следующие условия:

1. Функции \(\varphi, \psi, \chi\) непрерывны вместе со своими частными производными;

2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования \(U\) в пространстве \(xyz\) и точками области \(U'\) в пространстве \(uvw\);

3. Якобиан преобразования \(I\left( {u,v,w} \right),\) равный \[ {I\left( {u,v,w} \right) = \frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial \left( {u,v,w} \right)}} } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial x}}{{\partial u}}}&{\frac{{\partial x}}{{\partial v}}}&{\frac{{\partial x}}{{\partial w}}}\\ {\frac{{\partial y}}{{\partial u}}}&{\frac{{\partial y}}{{\partial v}}}&{\frac{{\partial y}}{{\partial w}}}\\ {\frac{{\partial z}}{{\partial u}}}&{\frac{{\partial z}}{{\partial v}}}&{\frac{{\partial z}}{{\partial w}}} \end{array}} \right|,} \] отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования \(U.\)

Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде: \[ {\iiint\limits_U {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} } = {\iiint\limits_{U'} {f\left( {\varphi \left( {u,v,w} \right),\psi \left( {u,v,w} \right),\chi \left( {u,v,w} \right)} \right)\left| {I\left( {u,v,w} \right)} \right|dudvdw} .} \] В приведенном выражении \(\left| {I\left( {u,v,w} \right)} \right|\) означает абсолютное значение якобиана.

Для вычисления тройных интегралов часто используются цилиндрические и сферические координаты. Соответствующие задачи рассматриваются подробно на страницах

• Тройные интегралы в цилиндрических координатах
• Тройные интегралы в сферических координатах

Ниже приводятся примеры вычисления интегралов с использованием других преобразований координат.

   Пример 1

Найти объем области \(U,\) заданной неравенствами \[ {0 \le z \le 2,}\;\; {0 \le y + z \le 5,}\;\; {0 \le x + y + z \le 10.} \] Очевидно, что данная область является наклонным параллелепипедом. Удобно сделать такую замену переменных, при которой наклонный параллелепипед преобразуется в прямоугольный. В этом случае тройной интеграл сразу распадается на произведение трех однократных интегралов.

Сделаем следующую замену: \[ {u = x + y + z,}\;\; {v = y + z,}\;\; {w = z.} \] Область интегрирования \(U'\) в новых переменных \(u, v, w\) ограничена неравенствами \[ {0 \le u \le 10,}\;\; {0 \le v \le 5,}\;\; {0 \le w \le 2.} \] Объем тела равен \[ {V = \iiint\limits_U {dxdydz} } = {\iiint\limits_{U'} {\left| {I\left( {u,v,w} \right)} \right|dudvdw} .} \] Вычислим якобиан данного преобразования. Чтобы не выражать старые переменные \(x, y, z\) через новые \(u, v, w,\) найдем сначала якобиан обратного преобразования: \[ {\frac{{\partial \left( {u,v,w} \right)}}{{\partial \left( {x,y,z} \right)}} } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial u}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial u}}{{\partial z}}}\\ {\frac{{\partial v}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial v}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial v}}{{\partial z}}}\\ {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial w}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial w}}{{\partial z}}} \end{array}} \right| } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}} \right| } = {1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 0&1 \end{array}} \right| } ={ 1 - 0 = 1.} \] Тогда \[ {\left| {I\left( {u,v,w} \right)} \right| } = {\left| {\frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial \left( {u,v,w} \right)}}} \right| } = {\left| {{{\left( {\frac{{\partial \left( {u,v,w} \right)}}{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}} \right)}^{ - 1}}} \right| = 1.} \] Следовательно, объем тела равен \[ {V = \iiint\limits_{U'} {\left| {I\left( {u,v,w} \right)} \right|dudvdw} } = {\iiint\limits_{U'} {dudvdw} } = {\int\limits_0^{10} {du} \int\limits_0^5 {dv} \int\limits_0^2 {dw} } = {10 \cdot 5 \cdot 2 = 100.} \]

   Пример 2

Найти объем наклонного параллелепипеда, заданного неравенствами \[0 \le 2x - 3y + z \le 5,\] \[1 \le x + 2y \le 4,\] \[ - 3 \le x - z \le 6.\] Введем новые переменные \[ {u = 2x - 3y + z,}\;\; {v = x + 2y,}\;\; {w = x - z.} \] Вычислим якобиан обратного преобразования: \[ {\frac{{\partial \left( {u,v,w} \right)}}{{\partial \left( {x,y,z} \right)}} } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial u}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial u}}{{\partial z}}}\\ {\frac{{\partial v}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial v}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial v}}{{\partial z}}}\\ {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial w}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial w}}{{\partial z}}} \end{array}} \right| } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 3}&1\\ 1&2&0\\ 1&0&{ - 1} \end{array}} \right|.} \] Раскладывая определитель по третьей строке, находим его значение: \[ {\frac{{\partial \left( {u,v,w} \right)}}{{\partial \left( {x,y,z} \right)}} } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 3}&1\\ 1&2&0\\ 1&0&{ - 1} \end{array}} \right| } = {1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&1\\ 2&0 \end{array}} \right| - 1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 3}\\ 1&2 \end{array}} \right| } = { - 2 - 7 = - 9.} \] Тогда модуль якобиана прямого преобразования равен \[ {\left| {I\left( {u,v,w} \right)} \right| } = {\left| {\frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial \left( {u,v,w} \right)}}} \right| } = {\left| {{{\left( {\frac{{\partial \left( {u,v,w} \right)}}{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}} \right)}^{ - 1}}} \right| } = {\left| {\frac{1}{{ - 9}}} \right| = \frac{1}{9}.} \] Теперь легко вычислить объем тела: \[ {V = \iiint\limits_{U'} {\left| {I\left( {u,v,w} \right)} \right|dudvdw} } = {\iiint\limits_{U'} {\frac{1}{9}dudvdw} } = {\frac{1}{9}\int\limits_0^5 {du} \int\limits_1^4 {dv} \int\limits_{ - 3}^6 {dw} } = {\frac{1}{9} \cdot 5 \cdot 3 \cdot 9 = 15.} \]