Дифференциальные уравнения плоских кривых

Как известно, решение дифференциального уравнения изображается графически в виде семейства интегральных кривых. Можно поставить и обратную задачу: сконструировать дифференциальное уравнение для заданного семейства плоских кривых, описываемых алгебраическим уравнением!

Итак, допустим, что семейство плоских кривых описывается неявным однопараметрическим уравнением: \[F\left( {x,y,C} \right) = 0.\] Будем предполагать, что функция \(F\) имеет непрерывные частные производные по \(x\) и \(y.\) Чтобы записать соответствующее дифференциальное уравнение первого порядка, нужно выполнить следующие шаги:

1. Продифференцировать \(F\) по \(x,\) рассматривая \(y\) как функцию \(x:\) \[\frac{{\partial F}}{{\partial x}} + \frac{{\partial F}}{{\partial y}} \cdot y' = 0;\]

2. Решить систему уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial F}}{{\partial x}} + \frac{{\partial F}}{{\partial y}} \cdot y' = 0\\ F\left( {x,y,C} \right) = 0 \end{array} \right.,\] исключая из нее параметр \(C.\)

В случае, если семейство плоских кривых задано двухпараметрическим уравнением \[F\left( {x,y,{C_1},{C_2}} \right) = 0,\] то последнее выражение нужно продифференцировать дважды, рассматривая переменную \(y\) как функцию \(x\) и затем исключая параметры \({{C_1}}\) и \({{C_2}}\) из системы трех уравнений.

Аналогичное правило применяется и в случае \(n\)-параметрического семейства плоских кривых.

   Пример 1

Определить дифференциальное уравнение для семейства кривых, заданных уравнением \(y = {e^{x + C}}.\) Дифференцируя заданное уравнение по \(x,\) получаем: \[y' = {e^{x + C}}.\] Параметр \(C\) можно легко исключить из системы уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} y' = {e^{x + C}}\\ y = {e^{x + C}} \end{array} \right..\] В результате мы получаем простое однородное дифференциальное уравнение: \[y' = y,\;\; \Rightarrow y' - y = 0.\]

   Пример 2

Вывести дифференциальное уравнение для семейства плоских кривых, заданных уравнением \(y = {x^2} - Cx.\) Продифференцируем заданное уравнение по переменной \(x:\) \[y' = 2x - C.\] Запишем последнее уравнение совместно с исходным алгебраическим уравнением и исключим параметр \(C:\) \[ {\left\{ \begin{array}{l} y' = 2x - C\\ y = {x^2} - Cx \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow C = y' - 2x,}\;\; {\Rightarrow y = {x^2} - \left( {y' - 2x} \right)x,}\;\; {\Rightarrow y = {x^2} - y'x + 2{x^2},}\;\; {\Rightarrow y'x + y = 3{x^2}.} \] В результате получаем дифференциальное уравнение (не разрешенное относительно производной), соответствующее данному семейству плоских кривых.

   Пример 3

Составить соответствующее дифференциальное уравнение для семейства плоских кривых, заданных уравнением \(y = \cot \left( {x - C} \right).\) Дифференцируя алгебраическое уравнение по переменной \(x,\) получаем: \[y' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {x - C} \right)}}.\] Заметим, что \[ {1 + {y^2} = 1 + {\cot ^2}\left( {x - C} \right) } = {1 + \frac{{{{\cos }^2}\left( {x - C} \right)}}{{{\sin^2}\left( {x - C} \right)}} } = {\frac{{{\sin^2}\left( {x - C} \right) + {{\cos }^2}\left( {x - C} \right)}}{{{\sin^2}\left( {x - C} \right)}} } = {\frac{1}{{{\sin^2}\left( {x - C} \right)}}.} \] Поэтому, можно записать: \[y' = - \left( {1 + {y^2}} \right).\] Следовательно, искомое дифференциальное уравнение имеет вид: \[y' = - 1 - {y^2},\;\; \Rightarrow y' + {y^2} = - 1.\]

   Пример 4

Семейство кривых задано функцией \(y = {\large\frac{1}{C}\normalsize}\cos \left( {Cx + \alpha } \right),\) где \(C\) − параметр, а \(\alpha\) − некоторый произвольный угол. Записать дифференциальное уравнение для данного семейства плоских кривых. Сначала мы продифференцируем алгебраическое уравнение по переменной \(x,\) рассматривая \(y\) как функцию \(x:\) \[ {y' = \frac{1}{C}\left[ { - \sin\left( {Cx + \alpha } \right)} \right] \cdot C } = { - \sin\left( {Cx + \alpha } \right).} \] Исключим \(C\) из системы уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} y' = - \sin\left( {Cx + \alpha } \right)\\ y = \frac{1}{C}\cos\left( {Cx + \alpha } \right) \end{array} \right..\] Для этого обе части каждого уравнения возведем в квадрат и затем сложим их: \[ {\left\{ \begin{array}{l} {\left( {y'} \right)^2} = {\sin^2}\left( {Cx + \alpha } \right)\\ {y^2} = \frac{1}{{{C^2}}}{\cos^2}\left( {Cx + \alpha } \right) \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left. {\left\{ \begin{array}{l} {\left( {y'} \right)^2} = {\sin^2}\left( {Cx + \alpha } \right)\\ {C^2}{y^2} = {\cos^2}\left( {Cx + \alpha } \right) \end{array} \right.} \right| + ,}\;\; {\Rightarrow {\left( {y'} \right)^2} + {C^2}{y^2} = 1,}\;\; {\Rightarrow {C^2}{y^2} = 1 - {\left( {y'} \right)^2},}\;\; {\Rightarrow {C^2} = \frac{{1 - {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{{y^2}}},}\;\; {\Rightarrow C = \frac{{\sqrt {1 - {{\left( {y'} \right)}^2}} }}{y}.} \] Подставляя найденное выражение для \(C\) в дифференциальное уравнение, находим: \[ {y' = - \sin \left( {Cx + \alpha } \right) } = { - \sin \left( {\frac{{x\sqrt {1 - {{\left( {y'} \right)}^2}} }}{y} + \alpha } \right).} \] Таким образом, наше семейство плоских кривых описывается следующим дифференциальным уравнением, не разрешенным относительно производной: \[y' = - \sin \left( {\frac{{x\sqrt {1 - {{\left( {y'} \right)}^2}} }}{y} + \alpha } \right).\]

   Пример 5

Вывести дифференциальное уравнение для семейства двухпараметрических плоских кривых \(y = {C_1}{x^2} + {C_2}x.\) Продифференцируем данное уравнение дважды по переменной \(x\) и запишем следующую систему трех уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} y = {C_1}{x^2} + {C_2}x\\ y' = 2{C_1}x + {C_2}\\ y'' = 2{C_1} \end{array} \right..\] Из последнего уравнения выразим параметр \({C_1}\) и подставим его в первые два уравнения: \[ {{C_1} = \frac{{y''}}{2},}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = \frac{{y''}}{2}{x^2} + {C_2}x}\\ {y' = y''x + {C_2}} \end{array}} \right..} \] Теперь можно выразить другой параметр \({C_2}\) через производные функции \(y\) и подставить это в первое уравнение. Искомое дифференциальное уравнение имеет вид: \[ {{C_2} = y' - y''x,}\;\; {\Rightarrow y = \frac{{y''}}{2}{x^2} + \left( {y' - y''x} \right)x,}\;\; {\Rightarrow y = \frac{{y''}}{2}{x^2} + y'x - y''{x^2},}\;\; {\Rightarrow y = y'x - \frac{{y''}}{2}{x^2},}\;\; {\Rightarrow 2y = 2y'x - y''{x^2},}\;\; {\Rightarrow y''{x^2} - 2y'x + 2y = 0.} \]