Дифференциальные операторы

Дифференциальные операторы представляют собой обобщение операции дифференцирования. Простейший дифференциальный оператор \(D,\) действуя на функцию \(y,\) "возвращает" первую производную этой функции: \[Dy\left( x \right) = y'\left( x \right).\] Двукратное применение операции \(D\) позволяет получить вторую производную функции \(y\left( x \right):\) \[{D^2}y\left( x \right) = D\left( {Dy\left( x \right)} \right) = Dy'\left( x \right) = y''\left( x \right).\] Аналогично, \(n\)-ая степень оператора \(D\) приводит к \(n\)-ой производной: \[{D^n}y\left( x \right) = {y^{\left( n \right)}}\left( x \right).\] Здесь мы предполагаем, что функция \(y\left( x \right)\) является \(n\) раз дифференцируемой и определенной на множестве действительных чисел. Сама функция \(y\left( x \right)\) может принимать комплексные значения.

Дифференциальные операторы могут иметь и более сложный вид − в зависимости от образующих их дифференциальных выражений.

Так например, в векторном анализе часто встречается дифференциальный оператор набла, определяемый как \[\nabla = \frac{\partial }{{\partial x}}\mathbf{i} + \frac{\partial }{{\partial y}}\mathbf{j} + \frac{\partial }{{\partial z}}\mathbf{k},\] где \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) − единичные векторы вдоль координатных осей \(Ox, Oy, Oz.\)

В результате действия оператора \(\nabla\) на скалярное поле \(F\) мы получаем градиент поля \(F:\) \[\nabla F = \frac{{\partial F}}{{\partial x}}\mathbf{i} + \frac{{\partial F}}{{\partial y}}\mathbf{j} + \frac{{\partial F}}{{\partial z}}\mathbf{k}.\] Вектор градиента указывает направление наибольшего возрастания функции \(F,\) а его длина показывает скорость возрастания функции в данном направлении.

Скалярное произведение вектора \(\nabla\) и векторного поля \(\mathbf{V}\) известно как дивергенция вектора \(\mathbf{V}:\) \[\nabla \cdot \mathbf{V} = \text{div}\,\mathbf{V} = \frac{{\partial {V_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {V_y}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {V_z}}}{{\partial z}}.\] В результате векторного произведения векторов \(\nabla\) и \(\mathbf{V}\) мы получаем ротор вектора \(\mathbf{V}:\) \[ {\nabla \times \mathbf{V} = \text{rot}\,\mathbf{V} } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ {\frac{\partial }{{\partial x}}}&{\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial z}}}\\ {{V_x}}&{{V_y}}&{{V_z}} \end{array}} \right|.} \] Скалярное произведение \(\nabla \cdot \nabla = {\nabla ^2}\) соответствует скалярному дифференциальному оператору, называемому оператором Лапласа или лапласианом. Он обозначается также символом \(\Delta:\) \[\Delta = {\nabla ^2} = \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {z^2}}}.\] Упомянем еще один дифференциальный оператор второго порядка − оператор Д'Аламбера. Этот оператор обозначается в виде квадрата \(\require{AMSsymbols.js}\Box\) и используется в теории относительности, электромагнетизме и других областях физики. В четырехмерном пространстве-времени \(\left( {t,x,y,z} \right)\) он представляется дифференциальным выражением \[\Box = \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - \Delta ,\] где \(\Delta\) − оператор Лапласа.

Введение дифференциальных операторов позволяет исследовать дифференциальные уравнения в терминах теории операторов и функционального анализа. Такой обобщенный подход оказывается мощным и эффективным. В частности, в приложении к линейным дифференциальным уравнением \(n\)-го порядка мы получаем компактный способ записи уравнений, а в некоторых случаях − возможность их быстрого решения. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение \(n\)-го порядка: \[ {{y^{\left( n \right)}}\left( x \right) + {a_1}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right) + \cdots } + {{a_{n - 1}}\left( x \right)y'\left( x \right) + {a_n}\left( x \right)y\left( x \right) = f\left( x \right).} \] Используя оператор дифференцирования \(D,\) это уравнение можно записать в виде \[L\left( D \right)y\left( x \right) = f\left( x \right),\] где \(L\left( D \right)\) − дифференциальный многочлен, равный \[L\left( D \right) = {D^n} + {a_1}\left( x \right){D^{n - 1}} + \cdots + {a_{n - 1}}\left( x \right)D + {a_n}\left( x \right).\] Другими словами, оператор \(L\left( D \right)\) представляет собой алгебраический многочлен, в котором роль переменной играет дифференциальный оператор \(D.\)

Рассмотрим некоторые свойства введенного оператора \(L\left( D \right).\)

1. Оператор \(L\left( D \right)\) является линейным: \[ {L\left( D \right)\left[ {{C_1}{y_1}\left( x \right) + {C_2}{y_2}\left( x \right)} \right] } = {{C_1}L\left( D \right){y_1}\left( x \right) + {C_2}L\left( D \right){y_2}\left( x \right).} \]

В случае нескольких операторов \(L\left( D \right),\) \(M\left( D \right)\) и \(N\left( D \right)\) (степень этих дифференциальных многочленов может быть различной) справедливы также следующие свойства:

2. Коммутативный закон сложения: \[L\left( D \right) + M\left( D \right) = M\left( D \right) + L\left( D \right).\]

3. Ассоциативный закон сложения: \[ {\left[ {L\left( D \right) + M\left( D \right)} \right] + N\left( D \right) } = {L\left( D \right) + \left[ {M\left( D \right) + N\left( D \right)} \right].} \]

Для операторов \(L\left( D \right)\) и \(M\left( D \right)\) можно ввести также и операцию умножения: \[\left[ {L\left( D \right) \cdot M\left( D \right)} \right]y\left( x \right) = L\left( D \right) \cdot \left[ {M\left( D \right)y\left( x \right)} \right].\] Важно отметить, что операция умножения обладает коммутативностью лишь для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, т.е. для операторов вида \[L\left( D \right) = {D^n} + {a_1}{D^{n - 1}} + \cdots + {a_{n - 1}}D + {a_n},\] где \({a_1}, \ldots ,{a_n}\) − постоянные числа.

Для таких операторов выполняются свойства \(4-6:\)

4. Коммутативный закон умножения: \[L\left( D \right) \cdot M\left( D \right) = M\left( D \right) \cdot L\left( D \right)\]

5. Ассоциативный закон умножения: \[ {\left[ {L\left( D \right) \cdot M\left( D \right)} \right] \cdot N\left( D \right) } = {L\left( D \right) \cdot \left[ {M\left( D \right) \cdot N\left( D \right)} \right]} \]

6. Дистрибутивный закон умножения относительно сложения: \[ {L\left( D \right) \cdot \left[ {M\left( D \right) + N\left( D \right)} \right] } = {L\left( D \right) \cdot M\left( D \right) + L\left( D \right) \cdot N\left( D \right)} \]

Отметим также еще одно полезное свойство оператора \(D:\)

7. \({D^m}{D^n} = {D^{m + n}}.\) 

Как видно, дифференциальные операторы \(L\left( D \right)\) с постоянными коэффициентами обладают такими же свойствами, что и обычные алгебраические многочлены. Следовательно, также как и алгебраические многочлены, дифференциальные операторы \(L\left( D \right)\) с постоянными коэффициентами можно умножать, разлагать на множители или делить. Указанные свойства лежат в основе операторного метода решений дифференциальных уравнений.

   Пример 1

Проверить, выполняется ли коммутативный закон умножения для операторов \(L = {D^2} + 1,\) \(M = 2D +3.\)
Вычислим \(LMy:\) \[My = \left( {2D + 3} \right)y = 2y' + 3y.\] Получаем следующее дифференциальное выражение: \[ {LMy = L\left( {My} \right) } = {\left( {{D^2} + 1} \right)\left( {2y' + 3y} \right) } = {2y''' + 3y'' + 2y' + 3y } = {\left( {2{D^3} + 3{D^2} + 2D + 3} \right)y.} \] Теперь вычислим \(MLy:\) \[Ly = \left( {{D^2} + 1} \right)y = y'' + y.\] Следовательно, \[ {MLy = M\left( {Ly} \right) } = {\left( {2D + 3} \right)\left( {y'' + y} \right) } = {2y''' + 3y'' + 2y' + 3y } = {\left( {2{D^3} + 3{D^2} + 2D + 3} \right)y.} \] Видно, что в данном случае коммутативный закон умножения выполняется (это справедливо для любых операторов \(L\left( D \right)\) с постоянными коэффициентами).

   Пример 2

Проверить, выполняется ли коммутативный закон умножения для операторов \(L = xD - 1,\) \(M = {D^2} + {x^2}.\)
Вычислим сначала дифференциальное выражение \(LMy:\) \[My = \left( {{D^2} + {x^2}} \right)y = y'' + {x^2}y,\] \[ {LMy = L\left( {My} \right) } = {\left( {xD - 1} \right)\left( {y'' + {x^2}y} \right) } = {xy''' - y'' + x\left( {2xy + {x^2}y'} \right) - {x^2}y } = {xy''' - y'' + 2{x^2}y + {x^3}y' - {x^2}y } = {xy''' - y'' + {x^3}y' + {x^2}y } = {\left( {x{D^3} - {D^2} + {x^3}D + {x^2}} \right)y.} \] Аналогично вычислим \(MLy\) и сравним результаты. \[Ly = \left( {xD - 1} \right)y = xy' - y,\] \[\require{cancel} {MLy = M\left( {Ly} \right) } = {\left( {{D^2} + {x^2}} \right)\left( {xy' - y} \right) } = {D\left( {y' + xy''} \right) + {x^3}y' - y'' - {x^2}y } = {y'' + \cancel{y''} + xy''' - \cancel{y''} + {x^3}y' - {x^2}y } = {xy''' + y'' + {x^3}y' - {x^2}y = \left( {x{D^3} + {D^2} + {x^3}D - {x^2}} \right)y.} \] Таким образом, при различном порядке действия операторов \(L\) и \(M\) получаются различные дифференциальные выражения. Это свойство характерно для дифференциальных операторов с переменными коэффициентами.

   Пример 3

Найти частное решение дифференциального уравнения \(y''' + 3y = {e^{2x}},\) используя операторный метод.
Рассмотрим действие произвольного оператора \(L\left( D \right)\) с постоянными коэффициентами на экспоненциальную функцию \({e^{kx}}:\) \[ {L\left( D \right){e^{kx}} = \left( {{k^n} + {a_1}{k^{n - 1}} + \cdots + {a_n}} \right){e^{kx}} } = {L\left( k \right){e^{kx}}.} \] Отсюда следует, что \[L\left( D \right)\left[ {\frac{{{e^{kx}}}}{{L\left( k \right)}}} \right] = {e^{kx}}.\] Поскольку дифференциальное уравнение в операторной форме записывается как \[L\left( D \right)y = {e^{kx}},\] то одним из решений такого уравнения является функция \[{y_1} = \frac{{{e^{kx}}}}{{L\left( k \right)}}.\] В данном примере оператор равен \[L\left( D \right) = {D^3} + 3.\] Следовательно, частное решение заданного дифференциального уравнения имеет вид: \[ {{y_1} = \frac{{{e^{kx}}}}{{L\left( k \right)}} = \frac{{{e^{kx}}}}{{{k^3} + 3}} } = {\frac{{{e^{2x}}}}{{{2^3} + 3}} } = {\frac{{{e^{2x}}}}{{11}}.} \]

   Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения \({y^{IV}} - y'' + y = 2\sin x,\) используя операторный метод.
Уравнение записывается в виде \[ {L\left( D \right)y = 2\sin x}\;\; {\text{или}\;\;\left( {{D^4} - {D^2} + 1} \right)y = 2\sin x.} \] Данный дифференциальный многочлен содержит лишь четные степени оператора \(D.\) Можно заметить, что при действии оператора \({D^2}\) на функцию \(A\sin kx\) мы получаем \[ {{D^2}y = {D^2}\left( {A\sin kx} \right) } = { - {k^2}A\sin kx } = { - {k^2}y.} \] Ясно, что для произвольного дифференциального многочлена \(L\left( {{D^2}} \right)\) с постоянными коэффициентами будет справедлива формула \[ {L\left( {{D^2}} \right)y = L\left( {{D^2}} \right)\left( {A\sin kx} \right) } = {L\left( { - {k^2}} \right)A\sin kx } = {L\left( { - {k^2}} \right)y.} \] Тогда частное решение уравнения выражается формулой \[{y_1} = \frac{{A\sin kx}}{{L\left( { - {k^2}} \right)}}.\] В нашем случае правая часть уравнения равна \(2\sin x,\) а дифференциальный оператор можно записать в виде \[L\left( {{D^2}} \right) = {\left( {{D^2}} \right)^2} - {D^2} + 1.\] В результате получаем: \[ {{y_1} = \frac{{A\sin kx}}{{L\left( { - {k^2}} \right)}} } = {\frac{{A\sin kx}}{{{{\left( { - {k^2}} \right)}^2} - \left( { - {k^2}} \right) + 1}} } = {\frac{{2\sin x}}{{{{\left( { - {1^2}} \right)}^2} - \left( { - {1^2}} \right) + 1}} } = {\frac{{2\sin x}}{3}.} \]