Действительные числа состоят из положительных действительных чисел, отрицательных действительных чисел и числа ноль.
\(\mathbb{R} = \mathbb{R^ - } \cup \left\{ 0 \right\} \cup \mathbb{R^ + }\)

Действительные числа включают в себя рациональные и иррациональные числа.
\(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\)

Примеры иррациональных чисел
\(\pi = 3.141592653 \ldots \),  \(e = 2.718281828 \ldots \),  \(\sqrt 2 = 1.414213562 \ldots \),  \(\ln 3 = 1.098612289 \ldots \)

Свойство упорядоченности
Для любой пары действительных чисел \(a\) и \(b\) справедливо одно и только одно из следующих соотношений:
\(a = b,\;a > b,\;a < b\)

Свойство транзитивности
Если \(a \le b\) и \(b \le c\), то \(a \le c\)

Если \(a \le b\), то \(a + c \le b + c\)

Если \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(ab > 0\)

Коммутативность сложения
\(a + b = b + a\)

Ассоциативность сложения
\(a + (b + c) = (a + b) + c\)

Существование нейтрального (нулевого) элемента при сложении
\(a + 0 = a\)

Существование противоположного элемента
Для любого действительного числа \(a\) существует противоположное число \(-a\), такое, что
\(a + (-a) = 0\)

Коммутативность умножения
\(a \cdot b = b \cdot a\)

Ассоциативность умножения
\(a \cdot \left( {b \cdot c} \right) = \left( {a \cdot b} \right) \cdot c\)

Дистрибутивность умножения относительно сложения
\(a \cdot \left( {b + c} \right) = a \cdot b + a \cdot c\)

Существование нейтрального элемента (единицы) при умножении
\(a \cdot 1 = a\)

\(a \cdot 0 = 0\) 

Существование обратного элемента
Для любого действительного числа \(a \ne 0\) существует противоположное число \({a^{ - 1}}\), такое, что
\(a \cdot {a^{ - 1}} = 1\)

Аксиома Архимеда
Для любой пары положительных действительных чисел \(a\) и \(b\) число \(a\) можно повторить в качестве слагаемого столько раз, что в результате сумма будет больше числа \(b\):
\(a + a + \ldots + a > b\)

Свойство непрерывности действительных чисел
Пусть заданы два непустых множества \(A \subset \mathbb{R}\) и \(B \subset \mathbb{R}\), причем для любых двух чисел \(a \in A\) и \(b \in B\) выполняется неравенство \(a \le b\). Тогда существует число \(\xi \in \mathbb{R}\), такое, что для всех чисел \(a \in A\) и \(b \in B\) справедливо соотношение
\(a \le \xi \le b\)