Геометрическая прогрессия

Последовательность чисел \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) называется геометрической прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу \(q,\) называемому знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, \(\large\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\normalsize = q\) или \({a_{n + 1}} = q{a_n}\) для всех членов геометрической прогрессии. Предполагается, что \(q \ne 0\) и \(q \ne 1.\)

Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле: \[{a_n} = {a_1}{q^{n - 1}}.\] Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии определяется выражением \[ {{S_n} = {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n} = {a_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},}\;\; {q \ne 1.} \] Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел \(\lim\limits_{n \to \infty } {S_n}\) существует и конечен.
В противном случае прогрессия расходится.

Пусть \(S = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}} = {a_1}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{q^n}} \) представляет собой бесконечный ряд геометрической прогрессии. Данный ряд сходится к \(\large\frac{{{a_1}}}{{1 - q}}\normalsize,\) если знаменатель \(\left| q \right| < 1,\) и расходится, если знаменатель \(\left| q \right| > 1.\)

   Пример 1

Найти сумму первых \(8\) членов геометрической прогрессии \(3,6,12, \ldots \) Здесь \({a_1} = 3\) и \(q = 2.\) Для \(n = 8\) получаем \[ {{S_8} = {a_1}\frac{{1 - {q^8}}}{{1 - q}} } = {3 \cdot \frac{{1 - {2^8}}}{{1 - 2}} } = {3 \cdot \frac{{1 - 256}}{{\left( { - 1} \right)}} = 765.} \]

   Пример 2

Найти сумму ряда \(1 - 0,37 + 0,{37^2} - 0,{37^3} + \ldots \) Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем \(q = -0,37.\) Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна \[ {S = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{q^n}} } = {\frac{1}{{1 - \left( { - 0,37} \right)}} } = {\frac{1}{{1 + 0,37}} } = {\frac{1}{{1,37}} } = {\frac{{100}}{{137}}.} \]

   Пример 3

Найти сумму ряда \[{S_7} = 1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{1}{4} - \frac{1}{{4\sqrt 2 }} + \frac{1}{8}.\] Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен \(q = - \large\frac{1}{{\sqrt 2 }}\normalsize.\) Поскольку сумма конечного числа членов геометрической прогрессии выражается формулой \[{S_n} = {a_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},\] то получаем следующий результат: \[ {{S_7} = 1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{1}{4} - \frac{1}{{4\sqrt 2 }} + \frac{1}{8} } = {\frac{{1 - {{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^7}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}} } = {\frac{{1 - \frac{1}{{8\sqrt 2 }}}}{{1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} } = {\frac{{\frac{{8\sqrt 2 - 1}}{{8\sqrt 2 }}}}{{\frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 }}}} } = {\frac{{8\sqrt 2 - 1}}{{8\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}.} \]

   Пример 4

Выразить бесконечную периодическую дробь \(0,131313 \ldots \) рациональным числом. Запишем периодическую дробь в следующем виде: \[ {0,131313 \ldots = \frac{{13}}{{100}} + \frac{{13}}{{10000}} + \frac{{13}}{{1000000}} + \ldots } = {\frac{{13}}{{100}}\left( {1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{10000}} + \ldots } \right).} \] Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии \(S = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{q^n}} = \large\frac{1}{{1 - q}}\normalsize\) со знаменателем \(q = \large\frac{1}{{100}}\normalsize,\) получаем \[ {0,131313 \ldots = \frac{{13}}{{100}} \cdot \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} } = {\frac{{13}}{{100}} \cdot \frac{1}{{\frac{{99}}{{100}}}} = \frac{{13}}{{99}}.} \]

   Пример 5

Показать, что \[1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}} + \ldots = \frac{x}{{x - 1}}\] при условии \(x > 1.\) Очевидно, что если \(x > 1,\) то \(\large\frac{1}{x}\normalsize < 1.\) Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу \(S = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{q^n}} = \large\frac{1}{{1 - q}}\normalsize,\) левую часть можно записать в виде \[ {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}} + \ldots } = {\frac{1}{{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{1}{{\frac{{x - 1}}{x}}} = \frac{x}{{x - 1}},} \] что доказывает исходное соотношение.

   Пример 6

Решить уравнение \[ {{x^2} - 2{x^3} + 4{x^4} - 8{x^5} + \ldots = 2x + 1,}\;\; {\left| x \right| < 1.} \] Запишем левую часть уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \[S = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{q^n}} = \frac{1}{{1 - q}},\] \[ {{x^2} - 2{x^3} + 4{x^4} - 8{x^5} + \ldots } = {{x^2}\left( {1 - 2x + 4{x^2} - 8{x^3} + \ldots } \right) } = {{x^2} \cdot \frac{1}{{1 - \left( { - 2x} \right)}} } = {\frac{{{x^2}}}{{1 + 2x}}.} \] Тогда уравнение принимает вид \[ {\frac{{{x^2}}}{{1 + 2x}} = 2x + 1,}\;\; {\Rightarrow {x^2} = {\left( {2x + 1} \right)^2},}\;\; {\Rightarrow {x^2} = 4{x^2} + 4x + 1,}\;\; {\Rightarrow 3{x^2} + 4x + 1 = 0.} \] Находим корни квадратного уравнения: \[ {D = {4^2} - 4 \cdot 3 = 4,}\;\; {\Rightarrow {x_{1,2}} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt 4 }}{6} = \frac{{ - 4 \pm 2}}{6} = - 1, - \frac{1}{3}.} \] Поскольку \(\left| x \right| < 1,\) то решением будет \(x = - \large\frac{1}{3}\normalsize.\)

   Пример 7

Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (\(\left| q \right| < 1\)) равен \(21,\) а сумма равна \(112.\) Найти первый член и знаменатель прогрессии. Используем формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии \[S = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_1}{q^n}} = \frac{{{a_1}}}{{1 - q}}.\] Так как второй член прогрессии равен \({a_2} = {a_1}q,\) то получаем следующую систему уравнений для определения \({a_1}\) и \(q:\) \[ {\left\{ \begin{array}{l} 112 = \frac{{{a_1}}}{{1 - q}}\\ 21 = {a_1}q \end{array} \right.\;\;\text{или}\;\;} {\left\{ \begin{array}{l} 112 = \frac{{{a_1}}}{{1 - q}}\\ {a_1} = \frac{{21}}{q} \end{array} \right..} \] Решая систему, приходим к квадратному уравнению относительно \(q:\) \[ {112 = \frac{{\frac{{21}}{q}}}{{1 - q}},}\;\; {\Rightarrow 112 = \frac{{21}}{{q\left( {1 - q} \right)}},}\;\; {\Rightarrow 21 = 112q\left( {1 - q} \right),}\;\; {\Rightarrow 21 = 112q - 112{q^2},}\;\; {\Rightarrow 112{q^2} - 112q + 21 = 0,}\;\; {\Rightarrow 16{q^2} - 16q + 3 = 0.} \] Это уравнение имеет два корня: \[ {D = {\left( { - 16} \right)^2} - 4 \cdot 16 \cdot 3 = 256 - 192 = 64,}\;\; {\Rightarrow {q_{1,2}} = \frac{{16 \pm \sqrt {64} }}{{32}} = \frac{{16 \pm 8}}{{32}},}\;\; {\Rightarrow {q_1} = \frac{{24}}{{32}} = \frac{3}{4},\;\;{q_2} = \frac{8}{{32}} = \frac{1}{4}.} \] Для каждого знаменателя \(q\) найдем соответствующие первые члены: \[ {{\left( {{a_1}} \right)_1} = \frac{{21}}{{{q_1}}} = \frac{{21}}{{\frac{3}{4}}} = 28,}\;\; {{\left( {{a_1}} \right)_2} = \frac{{21}}{{{q_2}}} = \frac{{21}}{{\frac{1}{4}}} = 84.} \] Таким образом, задача имеет два решения:

1. \({a_1} = 28,\;\;q = \large\frac{3}{4}\normalsize ;\)

2. \({a_1} = 84,\;\;q = \large\frac{1}{4}\normalsize .\)