Вытекание жидкости из сосуда

Итальянский ученый Эванджелиста Торричелли, изучавший движение жидкостей, в \(1643\) году экспериментально обнаружил, что скорость вытекания жидкости через малое отверстие на дне открытого сосуда (рисунок \(1\)) описывается формулой: \[v = \sqrt {2gh} ,\] где \(h\) − высота уровня жидкости над отверстием, \(g\) − гравитационная постоянная. Такая же формула описывает скорость тела, свободного падающего с высоты \(h\) в поле тяжести Земли в вакууме.

В действительности, найденная формула не совсем точна. В более точном приближении скорость жидкости зависит от формы и размера отверстия, от вязкости жидкости и режима течения. Поэтому, формула Торричелли часто записывается с дополнительным множителем \(\varphi:\) \[v = \varphi\sqrt {2gh} ,\] где коэффициент \(\varphi\) близок к \(1.\) Значения параметра \(\varphi\) для отверстий различной формы и размера можно найти в гидравлических справочниках. Вытекание жидкости из тонкой длинной трубки (рисунок \(2\)) имеет ряд особенностей. Здесь важную роль играют капиллярные эффекты, обусловленные поверхностным натяжением и смачиванием вследствие контакта со стенками трубки.

Скорость вытекания жидкости из капиллярных трубок приблизительно пропорциональна высоте столба жидкости над отверстием, то есть \[v = kh,\] где \(k\) − некоторая константа, зависящая от вязкости жидкости, геометрии и материала трубки.

Далее мы будем описывать вытекание жидкости с помощью дифференциальных уравнений из сосудов обоих типов (широкого и тонкого). Данное дифференциальное уравнение можно вывести, рассматривая баланс жидкости в сосуде. Возьмем, например, цилиндрический сосуд с широким основанием, радиус которого равен \(R.\) Предположим, что жидкость вытекает через малое отверстие радиуса \(a\) на дне сосуда (рисунок \(3\)). Скорость жидкости описывается формулой Торричелли: \[v = \sqrt {2gz} ,\] где \(z\) − высота жидкости над отверстием. Тогда поток жидкости определяется выражением: \[q = - \pi {a^2}\sqrt {2gz} .\] Здесь \(\pi {a^2}\) соответствует площади отверстия, через которое вытекает жидкость, а знак "минус" означает, что уровень жидкости уменьшается по мере ее вытекания из резервуара.

Уравнение баланса жидкости в резервуаре описывается следующим образом: \[\frac{{dV}}{{dt}} = q.\] Поскольку изменение объема \(dV\) можно выразить как \[dV = S\left( z \right)dz,\] то мы получаем дифференциальное уравнение \[\frac{{S\left( z \right)dz}}{{dt}} = q\left( z \right).\] Подставим функцию \(q\left( z \right)\) в это уравнение: \[\frac{{S\left( z \right)dz}}{{dt}} = - \pi {a^2}\sqrt {2gz} .\] Поперечное сечение \({S\left( z \right)}\) цилиндрического сосуда не зависит от высоты \(z\) и равно \[S\left( z \right) = \pi {R^2},\] где \(R\) − радиус основания цилиндра. Тогда \[\require{cancel} \cancel{\pi} {R^2}\frac{{dz}}{{dt}} = - \cancel{\pi} {a^2}\sqrt {2gz} . \] В результате получаем уравнение с разделяющимися переменными: \[\frac{{dz}}{{\sqrt z }} = - \frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} dt.\] Теперь проинтегрируем полученное уравнение, считая, что начальный уровень жидкости составляет \(H,\) и за время \(T\) он уменьшается до \(0:\) \[ {\int\limits_H^0 {\frac{{dz}}{{\sqrt z }}} = - \int\limits_0^T {\frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} dt} ,}\;\; {\Rightarrow 2\left[ {\left. {\left( {\sqrt z } \right)} \right|_H^0} \right] = - \frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} \left[ {\left. {\left( t \right)} \right|_0^T} \right],}\;\; {\Rightarrow 2\sqrt H = \frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} T,}\;\; {\Rightarrow \sqrt {2H} = \frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}\sqrt g T.} \] Отсюда следует выражение для полного времени вытекания жидкости \(T:\) \[T = \frac{{{R^2}}}{{{a^2}}}\sqrt {\frac{{2H}}{g}} .\] Интересно, что в предельном случае \(a = R\) (когда площади отверстия и самого цилиндра равны), полученная формула преобразуется в известную формулу \(T = \sqrt {\large\frac{{2H}}{g}\normalsize}, \) которая определяет время падения материального тела с высоты \(H.\) Зависимость времени \(T\) от высоты \(H\) схематически показана на рисунке \(4.\)

Аналогично можно описать вытекание жидкости и из сосуда другой формы.

   Пример 1

Вывести дифференциальное уравнение вытекания жидкости из конического сосуда и определить полное время вытекания \(T.\) Радиус верхнего основания конического сосуда равен \(R,\) а радиус нижнего основания \(a.\) Начальная уровень жидкости составляет \(H\) (рисунок \(5\)). Изменение уровня жидкости на высоте \(z\) описывается дифференциальным уравнением \[S\left( z \right)\frac{{dz}}{{dt}} = q\left( z \right),\] где \(S\left( z \right)\) − площадь поперечного сечения сосуда на высоте \(z,\) а \(q\left( z \right)\) − поток жидкости, зависящий от высоты \(z.\)

Принимая во внимание геометрию сосуда, можно предположить, что закон Торричелли выполняется. Поэтому, можно записать: \[q\left( z \right) = - \pi {a^2}\sqrt {2gz} ,\] где \(a\) − радиус отверстия на дне конического сосуда. Учитывая, что отверстие достаточно малое, осевое сечение можно рассматривать как треугольник (рисунок \(6\) выше). Из подобия треугольников следует, что \[\frac{R}{H} = \frac{r}{z}.\] Следовательно, площадь поверхности жидкости на высоте \(z\) будет равна \[ {S\left( z \right) = \pi {r^2} } = {\pi {\left( {\frac{{Rz}}{H}} \right)^2} } = {\frac{{\pi {R^2}{z^2}}}{{{H^2}}}.} \] Подставляя \(S\left( z \right)\) и \(q\left( z \right)\) в дифференциальное уравнение, имеем: \[\frac{{\pi {R^2}{z^2}}}{{{H^2}}}\frac{{dz}}{{dt}} = - \pi {a^2}\sqrt {2gz} .\] После простых преобразований получаем следующее дифференциальное уравнение: \[{z^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}dz = - \frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} dt.\] Проинтегрируем обе части, учитывая, что уровень жидкости уменьшается от начального значения \(H\) до нуля за время \(T:\) \[ {\int\limits_H^0 {{z^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}dz} = - \int\limits_0^T {\frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} dt} ,}\;\; {\Rightarrow \left. {\left( {\frac{{{z^{\large\frac{5}{2}\normalsize}}}}{{\frac{5}{2}}}} \right)} \right|_0^H = \frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} \left[ {\left. {\left( t \right)} \right|_0^T} \right],}\;\; {\Rightarrow \frac{2}{5}{H^{\large\frac{5}{2}\normalsize}} = \frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} T,}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{5}\sqrt {\frac{{2H}}{g}} = \frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}T,}\;\; {\Rightarrow T = \frac{{{R^2}}}{{5{a^2}}}\sqrt {\frac{{2H}}{g}} .} \] Здесь мы снова видим аналогию с падением материального тела с высоты \(H\) в гравитационном поле Земли. Как известно, время падения описывается формулой: \[T = \sqrt {\frac{{2H}}{g}}. \] Если мы сравним этот результат со случаем вытекания жидкости из цилиндрического сосуда, то видно, что при тех же самых значениях \(H, R\) и \(a\) время вытекания жидкости из конического сосуда ровно в \(5\) раз меньше, чем из цилиндра (хотя объем конического сосуда меньше лишь в \(3\) раза!). Такие целочисленные отношения в природе выглядят удивительными, не правда ли?

   Пример 2

Исследовать вытекание жидкости из тонкой трубки радиусом \(R\) и высотой \(H,\) считая трубку полностью заполненной жидкостью. Аналогично разобранным выше примерам, мы можем записать уравнение баланса жидкости на некоторой произвольной высоте \(z\) в следующей форме: \[S\left( z \right)\frac{{dz}}{{dt}} = q\left( z \right).\] В данном случае площадь поперечного сечения \(S\left( z \right)\) является константой: \[S\left( z \right) = S = \pi {R^2},\] и поток жидкости, вытекающей из сосуда, определяется формулой: \[q\left( z \right) = - kz,\] где \(k\) зависит от размера отверстия, смачиваемости и других параметров.

В результате получаем простое дифференциальное уравнение: \[\pi {R^2}\frac{{dz}}{{dt}} = - kz,\] или после разделения переменных: \[\frac{{dz}}{z} = - \frac{k}{{\pi {R^2}}}dt.\] Теперь это уравнение можно проинтегрировать, считая, что уровень жидкости уменьшается с высоты \(H\) до \(h\) за время от \(0\) до \(t:\) \[ {\int\limits_H^h {\frac{{dz}}{z}} = - \int\limits_0^t {\frac{k}{{\pi {R^2}}}dt} ,}\;\; {\Rightarrow \left. {\left( {\ln z} \right)} \right|_h^H = \frac{k}{{\pi {R^2}}}t,}\;\; {\Rightarrow t = \frac{{\pi {R^2}}}{k}\left( {\ln H - \ln h} \right) = \frac{{\pi {R^2}}}{k}\ln \frac{H}{h}.} \] Зависимость времени \(t\) от отношения \(\large\frac{H}{h}\normalsize\) показана схематически на рисунке \(8.\) Данная кривая аналогична зависимости времени \(T\) от высоты \(H\) для широкого цилиндрического сосуда, для которого справедлив закон Торричелли. Интересно, что в данной простой модели время вытекания жидкости \(t\) формально стремится к бесконечности при \(h \to 0.\)