Закон Торричелли
Итальянский ученый
Эванджелиста Торричелли, изучавший движение жидкостей,
в \(1643\) году экспериментально обнаружил, что скорость вытекания жидкости через малое отверстие на дне открытого сосуда (рисунок \(1\)) описывается формулой:
\[v = \sqrt {2gh} ,\]
где \(h\) − высота уровня жидкости над отверстием, \(g\) − гравитационная постоянная.
Такая же формула описывает скорость тела, свободного падающего с высоты \(h\) в поле тяжести Земли в вакууме.
В действительности, найденная формула не совсем точна. В более точном приближении скорость жидкости зависит от формы и размера отверстия, от вязкости жидкости и режима течения. Поэтому,
формула Торричелли часто записывается с дополнительным множителем \(\varphi:\)
\[v = \varphi\sqrt {2gh} ,\]
где коэффициент \(\varphi\) близок к \(1.\) Значения параметра \(\varphi\) для отверстий различной формы и размера можно найти в гидравлических справочниках.
Вытекание жидкости из тонкой трубки
Вытекание жидкости из тонкой длинной трубки (рисунок \(2\)) имеет ряд особенностей. Здесь важную роль играют капиллярные эффекты, обусловленные
поверхностным натяжением и смачиванием вследствие контакта со стенками трубки.
Скорость вытекания жидкости из капиллярных трубок приблизительно пропорциональна высоте столба жидкости над отверстием, то есть
\[v = kh,\]
где \(k\) − некоторая константа, зависящая от вязкости жидкости, геометрии и материала трубки.
Далее мы будем описывать вытекание жидкости с помощью дифференциальных уравнений из сосудов обоих типов (широкого и тонкого).
Дифференциальное уравнение вытекания жидкости
Данное дифференциальное уравнение можно вывести, рассматривая баланс жидкости в сосуде. Возьмем, например, цилиндрический сосуд с широким основанием, радиус
которого равен \(R.\) Предположим, что жидкость вытекает через малое отверстие радиуса \(a\) на дне сосуда (рисунок \(3\)).
Скорость жидкости описывается
формулой Торричелли:
\[v = \sqrt {2gz} ,\]
где \(z\) − высота жидкости над отверстием. Тогда
поток жидкости определяется выражением:
\[q = - \pi {a^2}\sqrt {2gz} .\]
Здесь \(\pi {a^2}\) соответствует площади отверстия, через которое вытекает жидкость, а знак "минус" означает,
что уровень жидкости уменьшается по мере ее вытекания из резервуара.
Уравнение баланса жидкости в резервуаре описывается следующим образом:
\[\frac{{dV}}{{dt}} = q.\]
Поскольку изменение объема \(dV\) можно выразить как
\[dV = S\left( z \right)dz,\]
то мы получаем дифференциальное уравнение
\[\frac{{S\left( z \right)dz}}{{dt}} = q\left( z \right).\]
Подставим функцию \(q\left( z \right)\) в это уравнение:
\[\frac{{S\left( z \right)dz}}{{dt}} = - \pi {a^2}\sqrt {2gz} .\]
Поперечное сечение \({S\left( z \right)}\) цилиндрического сосуда не зависит от высоты \(z\) и равно
\[S\left( z \right) = \pi {R^2},\]
где \(R\) − радиус основания цилиндра. Тогда
\[\require{cancel}
\cancel{\pi} {R^2}\frac{{dz}}{{dt}} = - \cancel{\pi} {a^2}\sqrt {2gz} .
\]
В результате получаем уравнение с разделяющимися переменными:
\[\frac{{dz}}{{\sqrt z }} = - \frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} dt.\]
Теперь проинтегрируем полученное уравнение, считая, что начальный уровень жидкости составляет \(H,\) и за время \(T\) он уменьшается до \(0:\)
\[
{\int\limits_H^0 {\frac{{dz}}{{\sqrt z }}} = - \int\limits_0^T {\frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} dt} ,}\;\;
{\Rightarrow 2\left[ {\left. {\left( {\sqrt z } \right)} \right|_H^0} \right] = - \frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} \left[ {\left. {\left( t \right)} \right|_0^T} \right],}\;\;
{\Rightarrow 2\sqrt H = \frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} T,}\;\;
{\Rightarrow \sqrt {2H} = \frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}\sqrt g T.}
\]
Отсюда следует выражение для полного времени вытекания жидкости \(T:\)
\[T = \frac{{{R^2}}}{{{a^2}}}\sqrt {\frac{{2H}}{g}} .\]
Интересно, что в предельном случае \(a = R\) (когда площади отверстия и самого цилиндра равны), полученная
формула преобразуется в известную формулу \(T = \sqrt {\large\frac{{2H}}{g}\normalsize}, \)
которая определяет время падения материального тела с высоты \(H.\) Зависимость времени \(T\) от высоты \(H\) схематически показана на рисунке \(4.\)
Аналогично можно описать вытекание жидкости и из сосуда другой формы.