Биномиальный ряд представляет собой разложение в ряд Маклорена функции \({\left( {1 + x} \right)^n}\) и в общем случае записывается в виде
\({\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{m = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ m \end{array}} \right){x^m}} = 1 + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 1 \end{array}} \right)x + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 2 \end{array}} \right){x^2} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 3 \end{array}} \right){x^3} + \ldots + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ m \end{array}} \right){x^m} + \ldots ,\)
где \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ m \end{array}} \right)\) − биномиальные коэффициенты, \(m\) − целое число, \(x\) − действительная (или комплексная) переменная, \(n\) − действительный (или комплексный) показатель степени.

Биномиальные коэффициенты выражаются формулой
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ m \end{array}} \right) = \large\frac{{n\left( {n - 1} \right) \ldots \left( {n - m + 1} \right)}}{{m!}}\normalsize\),  где  \(0 \le m \le n\).

Биномиальный ряд сходится при следующих условиях (предполагается, что \(x\) и \(n\) − действительные числа):
       •  \(-1 < x < 1\), если \(n < -1\);
       •  \(-1 < x \le 1\), если \(-1 < n < 0\);
       •  \(-1 \le x \le 1\), если \(n > 0\).

Бином Ньютона
В случае целых степеней \(n\) биномиальный ряд представляет собой конечную сумму \({n + 1}\) слагаемых и называется биномом Ньютона:
\({\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{m = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ m \end{array}} \right){x^m}} = 1 + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 1 \end{array}} \right)x + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 2 \end{array}} \right){x^2} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 3 \end{array}} \right){x^3} + \ldots + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ m \end{array}} \right){x^m} + \ldots = 1 + nx + \large\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2!}}\normalsize {x^2} + \ldots + {x^n}\)

Биномиальные коэффициенты как число сочетаний
Коэффициенты в формуле бинома Ньютона равны числу неупорядоченных сочетаний из n по m элементов:
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ m \end{array}} \right) = C_n^m = \large\frac{{n!}}{{m!\left( {n - m} \right)!}}\normalsize = \large\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 1} \right) \ldots \left( {n - m + 1} \right)}}{{m!}}\normalsize.\)

При такой записи бином Ньютона выражается формулой
\({\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_n^n{x^n} = \sum\limits_{m = 0}^n {C_n^m{x^m}} .\)

Некоторые часто встречающиеся биномиальные разложения:

\(\large\frac{1}{{1 + x}}\normalsize = 1 - x + {x^2} - {x^3} + \ldots ,\;\;\left| x \right| < 1\)  

\(\large\frac{1}{{1 - x}}\normalsize = 1 + x + {x^2} + {x^3} + \ldots ,\;\;\left| x \right| < 1\)  

\(\sqrt {1 + x} = 1 + \large\frac{x}{2}\normalsize - \large\frac{{{x^2}}}{{2 \cdot 4}}\normalsize + \large\frac{{1 \cdot 3{x^3}}}{{2 \cdot 4 \cdot 6}}\normalsize - \large\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5{x^4}}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}}\normalsize + \ldots ,\;\;\left| x \right| \le 1\)  

\(\sqrt[\large 3\normalsize]{{1 + x}} = 1 + \large\frac{x}{3}\normalsize - \large\frac{{1 \cdot 2{x^2}}}{{3 \cdot 6}}\normalsize + \large\frac{{1 \cdot 2 \cdot 5{x^3}}}{{3 \cdot 6 \cdot 9}}\normalsize - \large\frac{{1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 8{x^4}}}{{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12}}\normalsize + \ldots ,\;\;\left| x \right| \le 1\)