Определения
Пусть задана числовая последовательность \(\left\{ {{a_n}} \right\}.\) Тогда бесконечная сумма
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n} + \ldots \]
называется
бесконечным рядом или просто
рядом.
Частичные суммы ряда определяются формулой
\[\sum\limits_{n = 1}^n {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n},\]
где \({S_n}\) называется
\(n\)-частичной суммой ряда. Если частичные суммы
\(\left\{ {{S_n}} \right\}\) сходятся к \(L\) при \(n \to \infty,\)
то говорят, что бесконечный ряд
сходится к \(L:\)
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = L,\;\;\text{если}\;\;\lim\limits_{n \to \infty } {S_n} = L.\]
В противном случае ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \)
расходится.
Необходимый признак сходимости числового ряда
Если ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) сходится, то \(\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0.\)
Внимание! Обратное утверждение неверно. Сходимость общего члена \({{a_n}}\) к нулю
не означает, что ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) сходится. Например, гармонический ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{n}\normalsize} \)
расходится, хотя \(\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0.\)
Соответственно, если \(\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} \ne 0\) или этот предел не существует, то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) расходится
(достаточное условие расходимости ряда).
Свойства сходящихся рядов
Предположим, что \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = A \) и \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} = B \) являются сходящимися рядами,
а \(c\) − действительным числом. Тогда справедливы следующие линейные свойства: